40.在△ABC中，两条高CD，BE交于点G，点F是BC的中点.
（1）求证：DF＝EF；
（2）探索∠BGC和∠DFE之间的关系；
（3）如果∠DFE＝60°，AB＝6，BC＝根号（31），求△ABC的面积.
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【每日一题39】分析解答（原题见页底“了解更多”链接）
39.（1）在矩形ABCD中，∠ABC=90º，
∵△BMC沿MC折叠得到△NMC
∴∠MNC=∠MBC=90º，∠BMC=∠NMC
∵BE⊥CN
∴BE∥MN，
∴∠NMF=∠MFB
∴∠BMF=∠BFM
∴BM=BF
（2）∵∠BEC=90º，
∴∠AEB ∠CED=90º，
∵∠AEB ∠ABE=90º，
∴∠CED=∠ABE
又∵∠A=∠D=90º，
∴△ABE∽△DEC
∴AB：AE=DE：CD
∴设AE=x，则DE=25－x，
∴12：x=（25－x）：12，
解得x=9，x=16，
∵AE＜DE
∴AE=9，DE=16，
∴CE=20，BE=15，
由折叠得BM=MN，
∴BM=BF=MN，
∵BE∥MN，
∴△ECF∽△NCM
∴EF:MN=CE:CN
设BM=BF=MN=y，
∴(15－y)：y=20：25
∴y=25/3 则BM=25/3
在Rt△MBC中，
MC=25/3根号（10），
BC:MC=3/10根号（10）
（3）若BP=9，
解法一连接NF，
∵∠NEF=∠BAE=90º，
∵BF∥MN，BF=MN
∴四边形BMNF是平行四边形
∵BM=BF,
∴平行四边形BMNF是菱形
∴BM∥NF，
∴∠NFE=∠ABE，
∴△NEF∽△EAB
∴EF:GF=AB:BE
∴BE·EF = AB·NF=12×9=108
解法二∵∠FEC=∠MBC=90º，
∠EFC=∠MFB=∠BMF，
∴△EFC∽△BMC
∴EF:BM=CE:CB
又∵∠BEC=∠A=90º，
由AD∥BC得∠AEB=∠EBC，
∴△AEB∽△EBC
∴AB:BE=CE:CB
∴AE:BE=EF:BM
∴BE·EF= AE·BM=12×9=108
解法三过点F作FH⊥BC，垂足为H
∵△AEB与四边形MFEN面积比
=BF：（EF MN）
=BF：BE，
∴BF：BE
=S△BFC: S△BEC
=（EF×BC）:（12BC）
=EF/12
∴ 9：BE=EF:12
∴ BE·EF=12×9=108.
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