例3.(2018秋•赣榆区期中)如图,线段AB上有C、D两点,AB=6,AC=BD=1,点P是线段CD上的一个动点,分别以PA、PB为斜边在线段AB的同侧作等腰直角三角形MAP和等腰直角三角形NBP,连接MN,当点P从点C运动到点D的过程中,△PMN的外接圆圆心经过的路程是_______.
【分析】分别延长AM、BN交于点F,易证△MPN是直角三角形,即△PMN的外接圆圆心是MN的中点O,由于四边形MPNF为平行四边形,得出O为PF中点,设点P从距离A点1cm处C沿AB向右运动至距离B点1cm处N,则O的运行轨迹为△CDF的中位线GH.运用中位线的性质求出GH的长度即可.
【解答】如图,分别延长AM、BN交于点F.
∵△AMP和△PNB都是等腰直角三角形,且∠AMP=∠BNP=90°
∵∠A=∠APM=∠BPN=∠B=45°,
∴∠MPN=90°,∴△MPN是直角三角形,
∴△PMN的外接圆的圆心是MN的中点O,
∵∠A=∠BPN,∴AF∥PN,
同理,PM∥BN,∴四边形MPNF为平行四边形,∴PF与MN互相平分.
∵O为MN的中点,
∴O为PF中点,即在P的运动过程中,O始终为FP的中点,所以O的运行轨迹为三角形FCD的中位线G,.
∵CD=AB﹣AC﹣BD=6﹣1﹣1=4,
∴GH=1/2CD=2,即,△PMN的外接圆圆心经过的路程是2.
故答案为:2.
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形中位线的性质、平行四边形的判定和性质,以及动点问题,是中考的热点,解题的关键是正确寻找点R的运动轨迹,属于中考填空题中的压轴题.
类型2 路径为圆弧
例4.(2018秋•江都区校级月考)如图,AB为⊙O的直径,且AB=4,点C在半圆上,OC⊥AB,垂足为点O,P为半圆上任意一点,过P点作PE⊥OC于点E,设△OPE的内心为M,连接OM、PM.当点P在半圆上从点B运动到点A时,内心M所经过的路径长为_______.
【分析】分两种情况,当点M在扇形BOC和扇形AOC内,先求出∠CMO=135°,进而判断出点M的轨迹,再求出∠OO'C=90°,最后用弧长公式即可得出结论.
【解答】∵△OPE的内心为M,∴∠MOP=∠MOC,∠MPO=∠MPE,
∴∠PMO=180°﹣∠MPO﹣∠MOP=180°﹣1/2(∠EOP ∠OPE),
∵PE⊥OC,即∠PEO=90°,
∴∠PMO=180°﹣1/2(∠EOP ∠OPE)=180°﹣1/2(180°﹣90°)=135°,
如图,∵OP=OC,OM=OM,而∠MOP=∠MOC,
∴△OPM≌△OCM(SAS),∴∠CMO=∠PMO=135°,
所以点M在以OC为弦,并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上(弧OMC和弧ONC);点M在扇形BOC内时,过C、M、O三点作⊙O′,连O′C,O′O,
在优弧CO取点D,连DA,DO,
∵∠CMO=135°,∴∠CDO=180°﹣135°=45°,
∴∠CO′O=90°,而OA=2cm,