厄米特矩阵的共轭转置与自身相同。因此,它具有对称矩阵所具有的所有性质。
- 厄米特矩阵的一个例子
在这篇文章中,我主要讨论的是实数情况,即对称矩阵,以使分析变得简单一些,同时在数据科学中,我们遇到的也大都是实矩阵,因为我们要处理现实世界的问题。
对称矩阵的最重要的性质本节将介绍对称矩阵的三个最重要的性质。它们涉及这些矩阵的特征值和特征向量的行为,这是区别对称矩阵和非对称矩阵的基本特征。
性质1. 对称矩阵有实数特征值
这可以很容易地用代数法证明(正式的、直接的证明,而不是归纳法、矛盾法等)。首先,快速回顾一下特征值和特征向量。
- 矩阵A的特征向量是,在A作用于它之后,方向不变的向量。方向没有改变,但向量大小可以改变。
- 实数特征值给我们提供了线性变换中的拉伸或缩放信息,不像复数特征值,它没有 "大小"。
向量被缩放的比例是特征值,我们用λ表示。因此我们有:
- 式1.1
证明是相当容易的,但有一些重要的线性代数知识,所以我们还是要一步一步地来。
1.1通过x的共轭转置xᴴ得到:
- 式1.2
需要注意的是,λ是一个标量,这意味着涉及λ的乘法是可交换的。因此,我们可以把它移到xᴴ(x的转置,上标H可能不显示)的左边: