- 式1.7
我们在式1.3中见过xᴴx,代欧几里得范数后得到:
- 式1.8
这导致了λ和它的复共轭相等:
- 式1.9
只有在一种情况下,式1.9才有效,即λ是实数。这样一来,我们就完成了证明。
性质2. 特征值所对应的特征向量是正交的
这个证明也是一个直接的形式证明,但很简单。首先我们需要清楚目标,即:
- 式1.10
考虑一个对称矩阵A,x_1和x_2是A的特征向量,对应于不同的特征向量(我们需要这个条件的原因将在稍后解释)。根据特征值和对称矩阵的定义,我们可以得到以下公式:
我们在式1.3中见过xᴴx,代欧几里得范数后得到:
这导致了λ和它的复共轭相等:
只有在一种情况下,式1.9才有效,即λ是实数。这样一来,我们就完成了证明。
性质2. 特征值所对应的特征向量是正交的
这个证明也是一个直接的形式证明,但很简单。首先我们需要清楚目标,即:
考虑一个对称矩阵A,x_1和x_2是A的特征向量,对应于不同的特征向量(我们需要这个条件的原因将在稍后解释)。根据特征值和对称矩阵的定义,我们可以得到以下公式:
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