博士的回答是老师的常用手段，但是稍微有些糊弄的成分。因为这种回答还会遗留下面的疑问。
“不在意这些缝隙”具体是什么意思？事实上，不管是在意还是不在意，缝隙总是会存在的，不是吗？
这个疑问看上去似乎很无聊，但在高等数学中却是一个很有意思的问题。从结论上来讲，为了解决上述疑问，我们有必要使用“夹逼定理”（两边夹定理），从圆的内部和外部都取近似来研究图形。即先计算出“圆内部的方格数”对应的圆周率，然后再用同样的方法，计算出“包含圆边界的方格数”（内部方格数加包含圆边界的方格数）对应的圆周率。这样一来，我们可以得到下面的结论：
圆内部方格数对应的圆周率 ＜ 圆实际的圆周率 ＜ 包含圆边界的方格数对应的圆周率
如果将方格不断替换为更小的方格，“圆内部方格数对应的圆周率”和“包含圆边界的方格数对应的圆周率”，二者的数值会慢慢接近，都接近圆实际的圆周率，这就是“夹逼定理”。
如果对“夹逼定理”感兴趣，可以再读一读《微积分强化读本》（柴田敏男著／讲谈社）等书，可以从中获得一些专业知识。
本书中此话题暂且到此为止。在微积分中，不拘小节的精神同样重要。
图7是小方格组成的与圆近似的图形。左边是大方格，右边是小方格。通过这两个图大概可以明白“把粗糙的图形精细化，就会接近实际图形（圆）”。精度非常高的锯齿状图形，实际上很难在视觉上与平滑图形区分出来。
电视、电脑的液晶显示器，都是使用这个原理来显示画面的。液晶显示器显示的画面实际上是锯齿状的。但是显示器中锯齿的精细度非常高，所以我们眼中看到的就是平滑的线了。
我们也可以这样说，圆形实际上是由无数精细小方格组成的锯齿状图形，即圆形是锯齿状图形的“极限”。像这样，“近似”在数学中是极其好用的方法。
如果执着于完美再现平滑的线，那么就不会出现液晶显示器吧。多亏了非完美主义的近似方法，才诞生了划时代的技术。
和变为了积分
计算圆的面积时，小学中采用的方法是用“正方形”来划分圆的内部空间。这样做的原因实际上很简单，就是因为方格纸的方格是正方形。
求圆的面积，要领是精细地划分圆。也就是说，划分的形状应该不限于正方形。因此，我们可以把圆分成“细长的短条”来求面积。比如图8，我们尝试把圆分成细长的短条，也就是长方形的组合。
虽说如此，但既然说到了符号，从现在开始我们就尝试使用积分符号吧。公式也会从此处开始出现，不过内容和刚才的讲解是完全一致的，所以请轻松地读下去。和业界人士使用行业术语讲话一样，使用数学符号讲解数学，相同的内容在表达上也会看起来非常优雅。
在图9中，我们把圆裁切成非常窄的短条。水平方向为x轴。这时，圆的裁切方向和x轴正好是垂直关系。
在此基础之上，我们选取一条宽度为Δx的短条。Δ是希腊字母，读作“德尔塔”（Delta），多用作“差”（difference）的符号，表示非常小的数值。
现在，我们用公式来表示这条短条的面积。
