一片雪花的周长和地球的直径哪个更长?这看似是一个显而易见的问题。但是,它其实蕴含了一个深刻的数学原理——分形几何。
1英国的海岸线有多长?
1967年,美国数学家曼德布罗在美国权威期刊《科学》上发表了一篇论文,题目是《英国的海岸线有多长》。很多年以前,人们就发现了一个奇怪的现象:不同国家的测量机构对英国的海岸线测量数值相差很大,有人提出:这是因为在测量过程中“尺子”的大小不同造成的。曼德布罗重新研究了这个问题,得出了一个惊人的结论:英国海岸线的长度可以是无限的。
为什么这么说呢?我们知道,英国的海岸线非常崎岖,如果我们用卫星进行测量,相当于用一个很巨大的尺子,这样就会忽略海岸线上很多崎岖的细节,测量出的结果就比较小。但是如果我们让一个人沿着海岸线走一圈,他就会走过海边的礁石和沙滩,穿越海边的丛林,会发现很多卫星上看不到的细节,测量的结果就会变大。假如我们让一只蚂蚁爬过英国的海岸线,因为蚂蚁的身体更小,它就会发现更多人观察不到的细节,例如海边的一块小石头,一个易拉罐,甚至一粒沙子,造成测量的结果更大。
不同的尺子,测量结果不同
于是,假如我们让尺子无限缩小,英国的海岸线长度就会变成无穷大。1975年,曼德布罗提出了分形“分形”这个词,来描述这种神奇的问题。
2科赫雪花
其实,曼德布罗并不是最早研究分形几何的数学家。比他早100年的数学家康托尔就已经研究过类似的“康托尔集合”。在这一百年中,数学家们提出过各种各样的分形几何图形,其中最为著名的是数学家科赫提出的“科赫雪花。”
1904年,瑞典数学家科赫提出了一种图形:将一个正三角形的每条边平分为三份,再以每条边中间的一份为边,向外做正三角形,这个过程称为一次迭代。