图3 黎曼ζ函数，将欧拉ζ函数解析延拓到整个复数平面
黎曼注意到，ζ函数的零点有两种。当s=-2、-4、-6、-8…（负偶数）时，是平凡零点，黎曼称其他零点为非平凡零点，素数频率与非平凡零点有关。非平凡零点到底在哪里呢？这个问题如此复杂，黎曼也没有准确的结论，因此他提出如下的“黎曼猜想”却没有证明——
所有的这些非平凡零点都在实部等于二分之一的那条垂直线上。
这一貌似轻松平淡的一个猜想，却令无数数学家们努力到如今，已经163年过去仍未解决，但也有所进展。从进展过程能看出这个问题的重要性、黎曼的深厚功夫和超凡的能力。
黎曼论文有三个命题：非平凡零点实部大于0但小于1；所有非平凡零点几乎都位于实部为1/2的直线上；黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于实部为1/2的直线上。
数学家46年后才对黎曼认为显而易见的第一命题给出证明；黎曼表示自己证明了第二命题，但没有简化到可以发表，然而迄今为止，第二第三命题都没有被证明出来；人们也试图寻找具体的非平凡零点，仍然十分困难。
猜想公布44年后，数学家第一次算出了前15个非平凡零点，又过了20年，算出了前138个零点，数学家西格尔在黎曼手稿中发现了73年前黎曼计算非平凡零点的一个公式（黎曼-西格尔公式）。西格尔找到这个公式后，4年内算出了1000多个非平凡零点。现在，数学家用这公式及计算机，验证了超过前200亿个非平凡零点。
迄今找到的所有零点，实部全部都是0.5，无一例外。
张益唐和孪生素数猜想张益唐最近宣称的进展，便与上述的黎曼猜想相关。在介绍他在黎曼猜想的工作之前，先介绍他几年前有所突破的另一个素数问题：孪生素数猜想。
什么叫孪生素数？就是两个素数相差2，例如3和5；5和7等等。两千年前的欧几里得就证明了素数的个数是无穷多，同时，欧几里得也思考：孪生素数是否也有无穷多呢？欧几里得猜想是无穷多，但他没有给出证明，这就是孪生素数猜想——
“有无穷个素数对(p1, p2)，满足p1-p2=2”
图4 孪生素数猜想
不过，张益唐并没有完全解决孪生素数猜想，他证明了什么呢？
为了理解张益唐的结果，首先，可以把孪生素数猜想写成：“存在无穷多个差值等于2的素数对”；而张益唐证明的是：“存在无穷多个差值小于7000万的素数对”。
也就是说，张益唐证明的是比原来猜想更 “弱”一点的命题。原来命题中的差距是2，但这个差距可以放宽，比如将间隔放宽到4，或者100、1000。张益唐的工作意味着：如果将间隔放宽到7000万，他就证明出来了。然后呢？然后可以再减小间隔缩小包围圈，如果能一直缩到2，就证明了原来的猜想！
以上是这种方法的思路。不过，比较一下这两个结论，你可能感到吃惊：7000万vs2，还差十万八千里呢！
的确如此，但在张益唐这个结论之前，这个问题还没有上限，即上限是无限大。而张益唐将无限大用有限数7000万 代替，是里程碑式的进步。后来，陶哲轩等将此上限不断降低，张益唐提交证明之后，上限已降至246。
广义黎曼猜想除了研究自然数中的素数分布之外，也有数学家研究算术（等差）级数中包含的素数。因为大于 2 的素数都是奇数，所以，等差数列 {1 2k，k=1, 2, 3…} 中包括了除了2之外的所有素数，换言之，上面等差数列中包含了无穷多个素数。
德国数学家狄利克雷（1805—1859）的 “狄利克雷定理”，说的就是关于算术级数中的素数问题。狄利克雷最早将解析的方法用于解决数论问题，称为解析数论。狄利克雷等在解析数论领域发展了一整套工具去研究某些函数的零点问题，应用于哥德巴赫猜想、孪生素数猜想等，也用于关于素数分布等问题上。
为了证明“狄利克雷定理”，狄利克雷1837年引进了狄利克雷L函数。狄利克雷L函数可以看作是黎曼ζ函数的推广：
比较黎曼ζ函数而言，狄利克雷L函数将求和中的每一项都乘了一个χ(n)，称为狄利克雷特征。
狄利克雷特征χ(n)有下列性质：
•存在正整数k使得对于任意n都有χ(n) = χ(n k)；
•对于任意m,n，χ(mn) = χ(m) χ(n)
•χ(1)=1
第一条说明χ(n)是以k为周期循环的；第二条说明它是积性函数；第三条给出的χ(1)=1时，狄利克雷L函数成为黎曼ζ函数，保证了L函数的确是ζ函数的推广。用更为通俗的话来说：满足这三条性质的狄利克雷特征是一组函数χ(n)，函数的定义域是自然数，值域可以被限制在只有三种可能：0, 1和-1。
因此，狄利克雷L函数与黎曼ζ函数不同的是，后者是一个函数，前者是一组（可以有无穷多个）函数，其中的一个特殊情况：狄利克雷特征全为1时，便简化为黎曼ζ函数。黎曼函数是狄利克雷L函数的特殊情况，也是最简单的一个情况。
狄利克雷L函数与黎曼ζ函数许多方面相似，可以互相对应。比如，狄利克雷L函数的零点也有平凡与非平凡之分，非平凡零点也全都位于0＜Re（s）＜1的带状区域（即临界带）内。对应于黎曼ζ函数的黎曼猜想，对应地便有狄利克雷L函数的广义黎曼猜想。
由于狄利克雷L函数是黎曼ζ函数的推广，因此广义黎曼猜想显然是黎曼猜想的推广。
黎曼猜想为黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上Re(s) = ½的直线上；广义黎曼猜想为狄利克雷L函数的所有非平凡零点都位于复平面上Re(s) = ½的直线上。如果证明了广义黎曼猜想，也就证明了黎曼猜想，反过来不成立。
原来对ζ函数的欧拉乘积公式（3）：
对狄利克雷L函数，应该写成：
