那么数列{an}单调递增有上界，数列{bn}单调递减有下界，且当n趋于无穷时，
于是数列{an}和{bn}收敛到相同的极限。
高斯就把这个极限叫做a和b的算术-几何平均数（Arithmetic-Geometric Mean）。记为AGM(a,b)。
高斯当时只研究了算术-几何平均数。但顺着他的这个思路，我们当然还可以发明“算术-平方平均数”，“算术-调和平均数”，“平方-调和平均数”等概念。只需要在上面的迭代过程中，an和bn分别取an-1和bn-1不同的平均数即可。
这些平均数的数值都很容易计算，编个程序，迭代几次就能得到精度相当高的结果，收敛很快。
比如对1和2，小编用MATLAB编程，得到它们的算术-几何平均数约等于1.456791031046907，算术-平方平均数约等于1.540836469462489，平方-调和平均数约等于1.45458688740267。有兴趣的话可以试着计算其他组合的平均数。在计算的过程中，小编发现了一个很有意思的结论。限于篇幅，暂且不表。
本来两个数的平均，算数平均也好，几何平均也好，都很简单，计算简单，结果也简单。对1和2，它们的算术平均是1.5，几何平均是√2，平方平均是√(5/2),调和平均是4/3。然而对如此简单的1和2，它们的算术-几何平均数的卖相却如此“丑陋”！1.456791031046907.....看起来似乎还是个超越数！！！到底是何方神圣？
高斯并不仅仅满足于数值运算。很快，他就找到算术-几何平均数AGM(a,b)的解析表达：
圆周率π，三角函数，微积分......等等，算术-几何平均数怎么会和这些概念扯到一起？？？
当年，高斯22岁。
后续研究这些平均数，有什么用呢？
对我们来说，可以作为一种数学游戏，具有启发思维的作用。也许，可以应用在某个我们暂时还不知道的领域。
但高斯，他研究算术-几何平均数绝非一时的游戏之作。
作为一个“能从九霄云外的高度按照某种观点掌握星空和深奥数学的天才“，高斯发现，算术-几何平均数跟椭圆积分有很深的联系。
举个例子，有不少人对双纽线比较熟悉，双纽线是平面上到两个定点的距离之积为常数的动点轨迹（类比一下椭圆），长得像一个无穷符号。方程如下：
