“算术-几何平均数”既不是算术平均数，也不是几何平均数，由素有“数学王子”之称的德国数学家高斯首先发现和研究。算术-几何平均数，当然与“算术平均数”和“几何平均数”这两个概念有很深的关系。我们知道，但凡一个数学概念或定理，哪怕再简单不过，只要和高斯扯上关系，那就一定不简单了。带着耐心，我们来看看高斯关于算术-几何平均数的研究。
预备知识对于两个正实数a和b（不妨设0<a≤b），(a b)/2叫做a和b的算术平均数，√ab叫做a和b的几何平均数。
我们有基本不等式，
等号当且仅当a=b时成立。
证明也不难:
从数的角度
从形的角度
一目了然。
正文算术平均数和几何平均数的概念相当简单，绝大部分人认识到基本不等式这一步，可以说是功德圆满了。继续研究的话，无非两个方向：
第一，由两个数向三个、四个乃至任意n个正数的推广：
