下面这些文字来源于我在初三数学竞赛课的一份讲义。这节课的主题本是四点共圆，但由此引出了三角形中很多漂亮的性质，让人深感数学之美。在此整理出来，献给所有还在中学读书的读者，以及早已远离中学数学的 80 后。不管大家是否喜爱数学，想必都会被这些奇妙的结论所震撼。
三角形的奇迹首先表现在各个“心”上：三角形内部的每一组有几何意义的线条都交于一点。三条角平分线交于一点，这个点就叫做三角形的“内心”，它是三角形内切圆的圆心；三边的中垂线交于一点，这个点就叫做三角形的“外心”，它是三角形外接圆的圆心；三角形的三条中线也交于一点，这个点叫做三角形的“重心”，因为它真的就是这个三角形的重心。用力学方法可以很快推导出，它位于各中线的三等分点处。这些心将会在本文后面某个出人意料的地方再次出现。
三角形的三条高也不例外——它们也交于一点，这个点就叫做三角形的垂心。
垂心看上去很不起眼，但深入研究后即会冒出很多奇妙的结论。由于两个斜边重合的直角三角形将会产生出共圆的四点，因此画出三角形的三条高后，会出现大量四点共圆的情况，由此将挖掘出一连串漂亮的结论。让我们先来看一个简单而直接的结论：
定理：若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足，则 ∠1 = ∠2 。
证明：由于 ∠AFC = ∠ADC = 90°，因此 A 、 C 、 D 、 F 四点共圆，因此 ∠1 = 180° – ∠CDF = ∠A 。同理，由 A 、 B 、 D 、 E 四点共圆可知 ∠2 = ∠A 。因此 ∠1 = ∠2 。
如果把三边垂足构成的三角形称作“垂足三角形”的话，我们就有了下面这个听上去很帅的推论：
推论：三角形的垂心是其垂足三角形的内心。
证明：因为 AD 垂直于 BC，而刚才又证明了 ∠1 = ∠2，因此 ∠3 = ∠4 ，即 HD 平分 ∠EDF 。类似地， HE 、 HF 都是 △DEF 的内角平分线，因此 H 是 △DEF 的内心。
另一个有趣的推论如下：
推论：将 △ABC 沿 AC 翻折到 △AB’C ，假设 EF 翻折到了 EF’ ，则 EF’ 和 DE 共线。
