证明：把 AM 和 HO 的交点记作 X 。刚才我们已经证明了， AH 与 OM 平行，且长度之比为 2:1 。因此， △AHX 和 △MOX 相似，相似比为 2:1 。由此可知， HX:XO = 2:1 ，即 X 在线段 HO 的三等分点处。另外， AX:XM =2:1 ，也就是说 X 在三角形中线 AM 的 2:1 处。这说明， X 正是三角形的重心！
任意给定一个三角形，它的垂心、重心和外心三点共线，且重心将垂心和外心的连线分成 1:2 两段。这个美妙的结论是大数学家 Euler 在 1765 年时发现的，它是众多“Euler 定理”的其中之一。
说到 Euler 定理，九点圆是不能不提的；不过由于篇幅有限，也就到这儿为止了。垂心的性质还有很多，很难在一篇文章里把它们讲完。而且，这还仅仅是与垂心相关的定理，三角形中的心还有很多很多。1994 年，美国数学教授 Clark Kimberling 开始收集历史上被数学家们研究过的三角形的心，并建立了“三角形中心百科全书”的网站。这个网站记录了几乎所有目前已知的三角形的心。在这部百科全书里，每个三角形的心都有一个编号，编号为 n 的心就用符号 X(n) 来表示，其中 X(1) 到 X(8) 分别为内心、重心、外心、垂心、九点圆圆心、类似重心、 Gergonne 点和 Nagel 点。不但每个心都有自己独特的几何性质，各个心之间还有大量共线、共圆的关系。
