证明:这可以直接由前面的结论得到。
另一个更加对称美观的结论如下:
推论:若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足, H 是垂心,则 AH·DH = BH·EH = CH·FH 。
证明:做出 △ABC 的外接圆,然后延长 HD 、 HE 、 HF ,它们与外接圆的交点分别记作 H1 、 H2 、 H3 。前面的结论告诉我们, HH1 = 2HD , HH2 = 2HE , HH3= 2HF。而相交弦定理(或者圆幂定理,可以用相似迅速得证)告诉我们, AH·HH1= BH·HH2 = CH·HH3 。各等量同时除以 2 ,就有 AH·DH = BH·EH = CH·FH 。
让我们再来看一个与外接圆有关的定理。
定理:若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足, H 是垂心。过 C 作 BC 的垂线,与 △ABC 的外接圆交于点 G 。则 CG = AH 。
证明:我们将证明四边形 AHCG 的两组对边分别平行,从而说明它是一个平行四边形。注意到 CG 和 AD 都垂直于 BC ,因此 CG 和 AD 是平行的。由于 ∠BCG 是直角,这说明 BG 是圆的直径,也就说明 ∠BAG 也是直角,即 GA 垂直于 AB 。而 CF 也垂直于 AB ,所以 AG 与 CF 平行。因而四边形 AHCG 是平行四边形, CG = AH 。
它也能带来一个更帅的推论:
推论:若 H 是 △ABC 的垂心,O 是 △ABC 的外心,则 O 到 BC 的垂线段 OM 与 AH 平行,并且是 AH 长度的一半。
证明:前面我们证明了,上图中的 CG 与 AH 平行且相等。注意到 BG 是外接圆的直径, BG 的中点就是圆心,也就是 △ABC 的外心 O 。垂线段 OM 是 △BCG 的中位线,它平行且等于 CG 的一半,从而也就平行且等于 AH 的一半。
好了,下面大家将会看到的就是初等几何的瑰宝:
推论:三角形的垂心、重心和外心共线,且重心在垂心和外心连线的三等分点处。