证明：这可以直接由上图中的 ∠1 = ∠2 推出。
1775 年，Fagnano 曾经提出了下面这个问题：在给定的锐角三角形 ABC 中，什么样的内接三角形具有最短的周长。这个问题就被称作“Fagnano 问题”。 Fagnano 自己给出了答案：周长最短的内接三角形就是垂足三角形。下面我们就来证明这个结论。
定理：在 △ABC 的所有内接三角形中，垂足三角形 △DEF 拥有最短的周长。
证明：像上图那样，把三角形翻折五次，得到折线段 DEF1D2E2F3D4 。这条折线段的总长度等于内接三角形 DEF 周长的两倍。注意到，由前面提到的垂足三角形的性质可知，这条折线段正好组成了一条直线段。另外，注意到如此翻折之后， BC 和 B2C2是平行且相等的，而且 D 和 D4 位于两线段上相同的位置，因此从 D 到 D4 的折线段总长以直线段 DD4 最短。这就说明了，垂足三角形 △DEF 拥有最短的周长。
不过，这还不够震撼，垂心还有不少的本事。四点共圆还会给我们带来其它的等角。
定理：若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足，则 ∠1 = ∠2 。
证明：由于 ∠BFH = ∠BDH = 90°，因此 B 、 F 、 H 、 D 四点共圆，因此 ∠1 = 180° – ∠FHD = ∠2 。
这将给我们带来了下面这个非常漂亮的推论。
推论：把 △ABC 的垂心 H 沿 BC 边翻折到 H’ ，则 H’ 在 △ABC 的外接圆上。
证明：由于 H 和 H’ 沿 BC 轴对称，因此 ∠H’ = ∠1 。而前面已经证明过了， ∠1 = ∠2 。因此， ∠H’ = ∠2 。而 ∠H’ 和 ∠2 都是 AC 所对的角，它们相等就意味着 A 、 C 、 H’ 、 B 是四点共圆的。
换一种描述方法，这个结论还可以便得更酷：
推论：把 △ABC 的垂心 H 沿三边分别翻折到 H1 、 H2 、 H3 ，则 A 、 B 、 C 、 H1、 H2 、 H3 六点共圆。
