如果我们使用 FBM 来描述投资品（对数）价格，则这个性质说明不论我们看 5 分钟线、30 分钟线、日线、或者周线，投资品价格在不同时间尺度上的变化（即不同频率上的收益率）按照 Hurst 指数刻画的缩放比例 k^H 呈现出统计上的同分布。即如果我们把投资品价格的 5 分钟收益率按照 6^H 比例放大后和 30 分钟收益率比较，我们是无法区分它们的，因为他们在统计上满足相同的分布。
再来看增量的自相关性（这是被国内量化投资界过度错误使用的性质）具有如下性质：
- 如果 H > 0.5，则 FBM 的增量之间正相关；
- 如果 H < 0.5，则 FBM 的增量之间负相关。
Mandelbrot and Van Ness (1968) 对增量之间的相关性进行了定量的计算。令 [-t/2 – t2, -t/2] 和 [t/2, t/2 t1] 代表两个不重合的时间跨度（因此这两个跨度的长度分别为 t1 和 t2），则 FBM 在这两个跨度上的增量之间的相关系数为（记为 C(t,t1,t2)）：
可以证明，无论 t，t1 以及 t2 的取值，当 H > 0.5 时，该相关系数都大于 0；当 H < 0.5 时，该相关系数都小于 0。
我们在上式的基础上做一些有用的推导。令 t1 = t2，即我们考虑 FBM 在两个相同跨度上增量的自相关性。另外，令 t = s × t1，s = 0，1，2，…，即这两段增量之间的间隔是它们跨度的 s 倍。如此处理后再计算这两段增量的相关性，实际上是在计算原始 FBM 按照 1/t1 频率进行一阶差分后的序列的自相关性，其间隔就是 s。
经过简单的代数运算很容易得到：
可见，这个 FBM 一阶差分序列的自相关性仅和间隔 s（以及 Hurst 指数 H）有关，而与计算自相关性的时间点无关。这就证明了 FBM 增量的平稳性。特别的，如果我们取 s = 0，则我们关注的是两个相邻的 t1 长度内 FBM 增量的自相关性，它等于：
无论 s 是否为 0，以上两式均与时间跨度的取值无关。这是非常重要的一个性质，说明 FBM 增量的自相关性和求解增量的时间跨度 t1（或差分 FBM 的频率）无关，仅由 s 和 H 刻画。因此 Hurst 指数描述的是 FBM 增量的自相关性在不同频率上的共性。在下一节介绍重标极差法计算 Hurst 指数时，我们会进一步解释这一点。
4 重标极差法Hurst 指数刻画的是不同频率下 FBM 增量的波动和频率的关系。波动的含义是 FBM 在不同频率下的增量的分布宽度。刻画这个宽度可以使用重标极差或者别的指标，比如标准差。这就构成了计算 Hurst 指数的不同方法。
当使用重标极差来描述波动的分布宽度时，该方法便称为重标极差分析（rescaled range analysis，记为 R/S 分析），这是由 Hurst 发明（Hurst 1951），也是业界最普遍的一种方法。在国内很多投资研究报告中计算 Hurst 指数时，采用的正是这种方法。
理解这个方法对完全搞懂 Hurst 指数和 FBM 至关重要。比如，FBM 研究的是投资品价格序列，但是为什么我们却说收益率的 Hurst 指数，而不说价格序列的 Hurst 指数？又比如，我们可以使用日收益率计算 Hurst 指数，也可以使用周收益率计算 Hurst 指数，它们之间到底有什么区别和联系？以回答这些问题为目标，本节参考 Peters (1994) 的步骤介绍如何使用重标极差法计算 Hurst 指数。
首先必须明确的是，在金融市场投资领域，FBM 是用来对投资品的对数价格建模的，因此 FBM 的增量就是投资品的对数收益率。使用对数价格的目的是将价格标准化，使时间序列在不同绝对价格下的波动具有可比性。举个例子，如果不进行标准化，那么显然 100 点的波动对于 3000 点和 6000 点的上证指数是不一样的，是不可比的。
根据 FBM 的性质，其增量满足平稳性。因此，投资品的对数收益率满足平稳性。而长记忆性，即 Hurst 指数，是刻画平稳时间序列自相关性的一个指标（Beran 1994）。因此 Hurst 指数刻画的就是对数收益率的自相关性。这就是为什么当我们说 Hurst 指数时，它的对象是收益率序列而非价格序列。
R/S 分析的步骤如下。
R/S 分析第一步：输入数据为长度为 M 的股票价格（比如收盘价）序列。将它取对数、做差分，变成长度为 N = M - 1 的对数差分序列：
