作者 | 刘建新
内容提要：概述非欧几何学历史上的关键事件，综述历史研究文献。早期的研究者Bonola在20世纪初树立了非欧几何学史研究的典范，他关于非欧几何历史阶段的划分影响至今。叙述Bonola关于非欧几何学史的阶段划分，分析其阶段划分的原因与意义。
非欧几何的历史概述
图1 双曲几何，欧氏几何，椭圆几何中：垂直于同一条直线段的两条直线
非欧几何学是在指在“平行公设”方面不同于欧氏几何学的几何学体系。历史上，两种非欧几何学——罗氏几何与黎曼式非欧几何分别于19世纪由Lobachevskii和Riemann提出，后来分别被称为双曲几何与椭圆几何。非欧几何学起源于平行公设研究，从平行公设研究到早期的非欧几何学建立，再到人们理解各种非欧几何学的本质，经历了两千多年的漫长历史。
图2 欧几里得
公元前300年前后，Euclid《几何原本》问世。之后，希腊的Ptolemy，Proclus等人就开始了证明平行公设的尝试。但其后的两千年间，该问题的研究并未取得实质性的进展。本质上，人们只是得到了一些与平行公设等价的命题。平行公设研究上的突破是由意大利数学家Saccheri于18世纪做出的。
1733年，Saccheri在试图证明平行公设的过程中，从底角为直角的对称四边形出发，讨论了顶角的三种可能性，分别称为直角假设、钝角假设、锐角假设。钝角假设与平行公设以外的九大公理矛盾，所以被Saccheri否定。Saccheri在锐角假设的情形推导出一些看似荒谬的结论，故而认为自己通过归谬法证明了平行公设。德国的Lambert、法国的Legendre等人也沿着类似的思路展开研究。他们分别认为自己否定了钝角假设（当然，这是一个高级的错误）。同时，他们得出大量与锐角假设等价的命题，例如，不存在相似三角形；以及。他们对这些命题产生了不同的态度，Saaccheri认为一些命题是荒谬的，而Lambert却表示困惑，但他承认自己没有能够找到锐角假设中的矛盾。尽管他们的工作中存在着错误，但Saccheri等人考察了与锐角假设、钝角假设等价的一些命题，这是很大的进步。
在数学家们研究平行公设两千多年仍然没有获得证明的情况下，逐渐有研究者转变了对该问题的态度。19世纪初，德国的Schweikart和Taurinus在锐角假设下推导出一些三角学公式，并发现了一个绝对常数的存在，他们认为锐角假设下的几何学可能是成立的。后者得到了非欧几何学的三角公式：
其中分别a,b,c是三边长，A,B,C是三个角度。他们与Gauss通信讨论了新几何的各种结论，Gauss是当时的数学权威，也长期研究平行公设问题，但Gauss从未公开发表与此相关的著作。
