数学的理解 一般性原理 21黎曼、罗巴切夫斯基几何：平行公理的疑惑
先做一点准备工作。
度量的概念是怎样炼成的
笛卡尔在欧几里得空间建立了直角坐标系，开创了解析几何使得（以平面直角坐标系为例）空间点的坐标和有序数偶（x, y）之间建立了一一对应的关系。于是，两点A（x1, y1）、B（x2, y2）之间的距离可以用下面的代数表达式来计算：
这也称为是欧几里得度量。如何具体计算度量（距离），则在很大程度上决定了空间的性质。从上面的式子，不难发现度量（距离）应满足的三个基本性质：
1）非负性：距离总是涉及两个点，距离的大小总是非负的实数：
2）对称性：也就是从A点到B点的距离，等于从B点到A点的距离：
3）满足三角不等式：三角形任意两边之和不小于第三边。
在上述的关于距离的定义，就称为欧几里得度量。抽去欧几里得空间这个背景，那么距离的概念就升华为抽象的度量的概念。
以集合的语言，度量的定义如下。
设d是定义在集合X上的二元函数，它满足：
① 函数值是一个非负实数，即：d(x₁，x₂)≥0，等号仅当x₁＝x₂时成立；
② 满足对称性，即：d(x₁，x₂)＝d(x₂，x₁)；
③ 满足三角不等式：d(x₁，x₂)＋d(x₂，x₃)≥d(x₁，x₃)。
那么，d称为是集合X上的一个度量。d叫做度量函数，或者距离函数。x₁，x₂，x₃ 都是集合X的任意三个元素。
集合本来是没有任何结构的。一旦在集合上定义某种结构，就成为了数学的研究对象。度量函数d便在集合上定义了一种度量结构。定义了度量的集合，记作（X，d），称为度量空间。如果d是欧氏（欧几里得）度量，那么（X，d）就是欧氏空间，也就是平面几何成立的空间。只是，这里的欧式空间不仅仅局限于熟悉的三维空间，而是更加一般的n维欧氏空间。不同的度量函数，所定义的度量空间的性质当然会不同。
到了范畴学，度量的概念又进一步升级为范数。随着数学的深入，形象思维将越来越没有生存的空间了。空间到底是什么样子的，就只能通过空间的基本性质来把握，而不是依赖于想象。
欧几里得平行公理
过已知直线外一点，有且只有一条已知直线的平行线。
这个公理直观，很容易接受。然而，历史上许多数学家一直不断地对这个平行公理质疑过。可能你不理解，这有什么好质疑的呢？
回顾一下直线的三要素：连续、一维度量、长度最短。直线的定义里没有涉及任何“面或者平面”的背景。把这个平面的背景擦除，你脑子里那个很具体、很形象的直线就失去了存在的基础。于是，就只剩下抽象思维的余地了。
这样，基于二元逻辑法则，既然有存在平行线的情形，逻辑上，就不能拒绝不存在平行线的情形。
类似地，基于二元逻辑法则，有平行线的前提下，既然存在平行线唯一的情况，就可以有不唯一的情形。
再往前，既然可以定义度量空间，从而研究有度量的几何；那不定义度量，研究非度量空间的几何，也就没什么奇怪的了。
几何的分类
现在，不难理解基于二元逻辑法则的几何分类了。
爱因斯坦的广义相对论的数学基础，就是黎曼几何。所谓时空弯曲就是黎曼几何运用于物理领域取得的成果。黎曼几何，第一次问世，是黎曼求职时的演讲《论作为几何学基础的假设》。听众当然都是大佬级别。他们给予了热烈的掌声，为一点都没听懂而热烈鼓掌。
罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何，又叫双曲几何。在天体理论中有着广泛的应用。罗巴切夫斯基开启了非欧几何的先河。作为趟雷者，在欧洲学术界遭到了疯狂的反对。就连高斯也恐惧于当时的氛围，只在私下场合高度评价罗巴切夫斯基的工作，却从没有在公开场合评价。
拓扑学，是非度量空间的几何，在这个空间里，没有长度、角度这些概念。主要研究几何元素之间的关联或结合关系。连续性的研究是它的一个重要内容。如果有注意的话，欧氏空间的许多定理，就是拓扑型定理。例如相交直线确定一个点；不在一条直线上的三点确定一个平面。这样的定理不涉及度量。
最后，还有一类几何，叫分形几何，揭示的是一个奇妙的世界。超级的对称和无限的重复是分形几何的主旋律。和其它几何最大的区别，这个几何空间是非整数维的。
