棱台体积公式推导证明过程

首页 > 上门服务 > 作者:YD1662023-11-09 20:07:33

棱台的体积公式,应该算是数学公式中比较冷门的吧!反正老黄原先是没有记住的。不过老黄不用参加高考,记不记得住,没有什么关系。但是2022年参加全国卷I高考的考生,如果记不住这个公式,可就没有那么幸运了。

因为下面这道高考数学全国卷I的选择题,如果不用棱台的体积公式运算的话,出错的概率是很大的。老黄通过笔算,运算了好几次,得到的结果都不准确。就算笔算能力很强,不运用公式,也会浪费许多宝贵的考场时间。题目是这样的:

南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库. 已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0km^2;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0km^2. 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时,增加的水量约为( )(根号7≈2.65)

A. 1.0×10^9m^3;B. 1.2×10^9m^3;C. 1.4×10^9m^3;D. 1.6×10^9m^3

这道题在单位上虽然有点不同,但出题人并没有在单位上设计陷阱,也算是手下留情了吧。

棱台体积公式推导证明过程,(1)

分析:只要考生记得棱台的体积公式:V=h(S1 S2 根号(S1*S2))/3,就可以比较轻松地解决这个问题。因为题中各个数据都已经明确给出来了,棱台的高h=9m, 一个底面面积S1=140.0×10^6m^2, 另一个底面面积S2=180×10^6m^2,代入公式就可以得到:

V=9×(140 180 根号(140×180))×10^6/3约等于1.4×10^9m^3.

棱台体积公式推导证明过程,(2)

因此选C. 如果用这种方法,解这道题,用不了3分钟的时间。如果不记得公式,解决这个问题,倒也不算很难。就是很花时间,也很容易出错。这时我们要把棱台各侧棱延长,使之变成一个棱锥,然后运用“整个棱锥的体积,减去棱台下方(或上方)棱锥的体积”的方法,来求棱台的体积。如图:

棱台体积公式推导证明过程,(3)

这时,仍记棱台的高为h=9m,整个棱锥的高为h',那么由图中的相似三角形,可以得到h'/(h'-h)=根号(180/140)=3倍根号(1/7). 这是“相似图形边的比等于面积比的算术平方根”的应用。

从而可以解得整个棱锥的高h'约等于76m. 现在就可以求棱台的体积了,并求得答案仍为C. 讲起来很轻松,实际运算过程很麻烦。这样的解法,没有5分钟以上,是解不出来的。不要小看两种解法之间2分多钟的差别,对高考的数学成绩,可能起到决定性的作用。

棱台体积公式推导证明过程,(4)

最后老黄要给大家推导一下,棱台的体积公式是怎么得到的。因为只有经过推导,才能把这个公式记牢。您也可以自己动手推推看。

由h'/(h'-h)=根号(S1/S2),可以化得h'(根号(S1/S2)-1)=h根号(S1/S2),

从而解得h'=h根号S1/(根号S1-根号S2)=h(S1 根号(S1S2))/(S1-S2).

V=hS1(S1 根号(S1S2))/(3(S1-S2))-S2(h(S1 根号(S1S2))/(S1-S2)-h)/3

=h((S1^2 S1根号(S1S2))/(S1-S2)-(S2^2 S2根号(S1S2))/(S1-S2))/3

=h(S1 S2 根号(S1*S2))/3.

棱台体积公式推导证明过程,(5)

证明的过程,其实就相当于第二种方法的解题过程。这告诉我们,平时做了充分的准备,高考时就会省时省力;平时没有做足准备,那么平时应该做的事情,就会留到高考考场上去完成,费时又费力,必然会影响高考成绩。这也是“考场一分钟,场外十年功”的道理吧!

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