在欧洲，函数(function)这一名词，是微积分的奠基人德国数学家莱布尼兹首先采用的．他在1692年发表的数学论文中，就应用了函数这一概念．不过，莱布尼兹仅用函数一词表示幂，即x，x2，x3，…，其后他用函数一词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等与曲线上点相关的某些几何量．
1718年，莱布尼茨的学生瑞士数学家贝努利使用变量概念给出了不同于几何形式的函数定义：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量。”意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数。贝努利所强调的是函数要用公式来表示，贝努利还采用了莱布尼兹“x的函数”一词作为这个量的名称，首先用符号“Φx”作为函数的记号。
瑞士数学家欧拉在其著作《无穷小分析引论》中，把凡是给出解析式表示的变量，统称为函数．1734年，欧拉首先创用了符号“f(x)”作为函数的记号．f(x)中的字母“f”取自function(函数)的第一个字母．欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了。由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数。他认为：“函数是随意画出的一条曲线。”其实，欧拉关于函数的定义，并没有真正揭示出函数概念的实质．
1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。
1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化。函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法。函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。”这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系，可以来求出每一个x的对应值。
德国数学家狄利克勒，在总结前辈数学家工作的基础上，在1837年给出了至今还常用的函数的定义：如果对于给定区间上的每一x的值，都有唯一的y值与它对应，那么y是x的函数．用符号记作：y=f(x)．这个定义抓住了概念的本质属性，变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式。这个定义比前面的定义带有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便。因此，这个定义曾被比较长期的使用着。
随着数学的不断进步和完善，当19世纪集合论出现后，函数也是映射，是数集合到数集合的映射：设A，B都是非空的数的集合，f是从A到B的一个对应法则，那么A到B的映射f∶A→B，就叫做A到B的函数．记作：y=f(x)其中x∈A，y∈B．
中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）一书时，把“function”译成“函数”的。 中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”所以“函数”是指公式里含有变量的意思。
函数y=f(x)是个比较抽象的数学符号．y=f(x)是表示“y是x的函数”这句话的数学表达式，而不是f与x的乘积． 在研究同一问题的过程中，等式y=f(x)，h=f(t)，m=f(n)……表示完全相同的对应法则．至于自变量、函数用什么字母表示是无关要。
