抛物线怎么求斜率公式,抛物线的斜率公式是什么

首页 > 上门服务 > 作者:YD1662024-01-11 18:57:12

这是2021年浙江湖州中考数学的压轴题,是一道与抛物线有关的题目,需要用到待定系数法、韦达定理、顶点公式、直线的斜率公式以及两直线垂直的斜率关系。

如图,在平面直角坐标系xOy中,A,B两点的坐标分别为(-4,0),(4,0),C(m,0)是线段AB上一点(与A,B点不重合), 抛物线L1:y=ax^2 b1x c1(a<0)经过点A, C,顶点为D,抛物线L2:y=ax^2 b2x c2(a<0)经过点C,B,顶点为E,AD,BE的延长线相交于点F.

(1)假设a=-1/2, m=-1, 求抛物线L1,L2的解析式;

(2)假设a=-1,AF⊥BF,求m的值;

(3)是否存在这样的实数a(a<0),无论m取何值,直线AF与BF都不可能互相垂直?假设存在,请直接写出a的两个不同的值;假设不存在,请说明理由.

抛物线怎么求斜率公式,抛物线的斜率公式是什么(1)

第(1)小题明显要运用待定系数法,一般情况下要列两个方程组,每条抛物线列一个方程组,不过老黄这里直接把它列成一个方程组:

解:(1)列方程组:{16X(-1/2)-4b1 c1=0, -1/2-b1 c1=0, 16X(-1/2) 4b2 c2=0, -1/2-b2 c2=0};

解得:{b1=-2.5,c1=2,b2=1.5,c2=2}

∴L1:y=-x^2-2.5x-2;L2:y=-x^2 1.5x 2.

抛物线怎么求斜率公式,抛物线的斜率公式是什么(2)

第(2)小题的知识点应用得最多。先是韦达定理的应用求b1,c1,b2,c2关于m的表达式,在初中阶段称为“一元二次方程的根与系数的关系”。然后运用抛物线的顶点公式求D,E的坐标。接下来运用直线的斜率公式,求直线AF和BF的斜率。最后应用两条直线垂直,它们的斜率的积等于-1的知识列方程,求m的值。

(2)根据韦达定理:b1=m-4, c1=4m, b2=m 4, c2=-4m,

D((m-4)/2,((m-4)^2 16m)/4), E((m 4)/2,((m 4)^2 16m)/4),

AF的斜率k1=(((m-4)^2 16m)/4)/((m-4)/2 4)=(m 4)/2, BF的斜率k2=(((m 4)^2-16m)/4)/((m 4)/2 4)=(m-4)/2.

当AF⊥BF时, k1k2=((m 4)/2)((m-4)/2)=-1, 解得:m=±2根号3.

抛物线怎么求斜率公式,抛物线的斜率公式是什么(3)

当然,第(2)小题也可以过点D,E,分别作x轴的垂线,用相似三角形的知识来求解。不过还是那句话:中考考场上,能想到什么方法就用什么方法。平时多备几样武器总是好的。

抛物线怎么求斜率公式,抛物线的斜率公式是什么(4)

第(2)小题用的是什么方法,第(3)小题最好就延续性地使用同一方法,因为这两道小题的内在联系是非常紧密的。

(3)存在,例如: a=-1/4或a=-1/3.

接下来分析的部分,按题意,是不需要写进解题过程中的。

根据韦达定理:b1=-a(m-4), c1=4am, b2=-a(m 4), c2=-4am,

D((m-4)/2,(a(m-4)^2 16am)/4), E((m 4)/2,(a(m 4)^2 16am)/4),

AF的斜率k1=((a(m-4)^2 16am)/4)/((m-4)/2 4)=a(m 4)/2, BF的斜率k2=((a(m 4)^2-16am)/4)/((m 4)/2 4)=a(m-4)/2.

当AF⊥BF时, k1k2=(a(m 4)/2)(a(m-4)/2)=-1, 即m^2=16-4/a^2,

当16-4/a^2<0, 即-1/2<a<1/2时,m无解,又a<0,所以-1/2<a<0.

抛物线怎么求斜率公式,抛物线的斜率公式是什么(5)

也就是说,只要所取a值在(-1/2,0)上,就可以了,因此这个问题的答案不是唯一的。当然,你也可以直接把a=-1/4,a=-1/3或a=-1/5代入抛物线的解析式,运用检验结果是否正确.

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