以及推导出了e^x的级数展开式：
图二十一
如果欧拉的研究到此为止，那数学星空只是意外添加了几颗亮光微弱的小星。但大师欧拉的洞察力和勇气超乎我们的想象，他做了一个大胆、出格的决定：将展开式中的x换成ix(这里的i为虚数单位)得到：
图二十二
紧接着，将式子中的虚部与实部分开
图二十三
(*)式用一种简约而不简单的方式，将三角学、代数学、以及分析学三个数学分支紧密的联系了起来，不但如此，欧拉令这里的x=π，得到了另一个"最美公式"：
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