你可能会说：“听上去不错。不过，这不就意味着，所有的无穷数都是一样大的吗？如果是这样，比较它们的大小还有什么意义呢？”
不，事情当然没有那么简单。人们可以很容易地找出比所有的整数或分数的个数还要大的无穷数。
现在回过头来，研究一下本章开头提出的问题。“一条线上所有点的个数”和“所有整数的个数”，到底谁大谁小？你会发现，这两个无穷数的大小确实是不同的——一条线上的点的个数要比所有的整数或分数个数要多得多。为了证明这一点，我们试着在一条线段上（比如说 1 英寸长），建立点和整数数列之间的一一对应关系。
线段上的每一个点都可以表示为它与线段某端间的距离，而且这段距离都可以记作一个无限小数，比如 0.7350624780056……，或 0.38250375632……[2]。现在我们就可以来比较所有整数和这些无限小数的个数了。那么，上面这些无限小数，和像、这样的分数，又有怎样的区别呢？
大家一定还记得，我们在数学课上学过，每一个普通分数都可以转化成无限循环小数，比如
,
我们上面已经证明过，所有普通分数的个数和所有整数的个数是相同的，因此，所有循环小数的个数和所有整数的个数也是相同的。但是，一条线段上的点不可能完全表示成无限循环小数，而且大多数情况下，这些无限小数是不循环的。很容易看出来，在这种情况下，两个数列无法建立一一对应的关系。
假如有人声称，他能建立如下形式的对应关系：
当然，因为我们不可能写出无限不循环小数的每一位数，所以这张表的作者必定已经找到了某种一般性的规则（类似于我们将分数和所有整数进行配对的规则），并且按照这种规则构造了上面这个表，这种规则确保，我们所能想到的任何一个小数迟早都会出现在这张表里。
然而，不难证明，没有一种排列法则可以保证这样的事，因为我们总是可以写出一个没有出现在这个表里的无限不循环小数。如何办到的？再简单不过了只要让这个数的小数点后第一位数字和表里的一号数字（N1）的小数点后第一位不同，第二位数字和 N2 的小数点后第二位不同，依此类推，就会得到一个类似下面这样的数字：
这样的话，无论你往下找多久，这个数字都不会出现在这个表里。如果这张表的作者告诉你，你写下的这个小数就在第 137 行（也可以是其他任意一行），那么你可以立刻告诉他：“不可能，因为这两个数在小数点后第 137 位上的数字是不同的。”
因此，一条线上的点的个数和整数的个数之间，无法建立一一对应的关系，这意味着，一条线上的点的个数比所有整数或分数的个数更大，或者说更强。
我们一直在讨论“1 英寸长的线段”上点的个数，不过，根据“无穷数学”规则，很容易证明上述结论对任何一条线段上的点都适用，也就是说，无论是 1英寸、1 英尺，还是 1 英里，这些线段拥有的点的数目都是相等的。想要证明这一点，只要看一下图 6 就可以。图上比较了两条长度不相等的线段 AB 和 AC 上的点的个数。为了在两条线之间建立一一对应的关系，我们从 AB 上的每一点出发，做一条平行于 BC 的线，并将它与两条线的交点进行配对，例如 D 和 D1、E和 E1、F 和 F1 等。如此一来，AB 上的每一个点在 AC 上都有点与之对应，反之亦然。因此，根据我们的规则，这两条线段拥有的点的数量是相等的。
在探索无穷大数的过程中，我们还有一个出人意料的发现：一个平面上的所有点的数量和直线上点的数量竟然是一样的！为了论证这一点，我们来考察线段AB（长度为 1 英寸）上面的点，和正方形 CDEF 内的点（图 7）。假设线段 AB某个位置上的点均可以用某数字来表示，比如说 0.75120386……，那么，我们可以由这个数字确定两个不同的数字，取小数点后的奇数位和偶数位重新组合，即0.7108……和 0.5236……。
接下来，我们分别以这两个数字为横坐标和纵坐标的值，在正方形中寻找到对应的点，并把这个点称为此前线段上点的“对应点”。反过来，如果我们知道正方形里任何一个点的横坐标和纵坐标，打个比方，比如说 0.4835……和0.9907……，通过相同的规则合并这两个数字，也可以得到它的“对应点”在线段上的位置：0.49893057……。
很显然，通过上述的步骤，两组点之间建立起了一一对应的关系。线上的每一个点都能在正方形里找到它的对应点，而正方形里的每一个点也能在线上找到对应。没有任何一个点会被遗漏。依照康托尔的规则，我们可以得出结论：正方形里所有点的数量等于线段上的所有点的数量。
使用类似的方法，也很容易证明，立方体内所有点的数量等于正方形或直线上点的数量。我们只需要把原来的小数拆分成三个新的数字[3]，然后用这三个数来定义立方体内“对应点”的位置即可。此外，就像两条长度不同的线段中，点的数量是相等的一样，无论正方形或立方体的大小如何，其中点的数量也不会改变。
虽然所有几何点的数量比所有整数或分数的数量要大，但它还不是数学家们已知的最大的无穷数。事实上，人们发现，所有曲线的种类，包括那些最不同寻常的曲线，要比所有几何点的数量还要多，因此，必须要用无穷数列的第三个数来描述它。
根据“无穷数学”的开创者格奥尔格·康托尔的定义，无穷数可以用希伯来字母 ℵ（aleph）表示，其右下角有一个数字，表示它在无穷数列中的位置。由此，我们可以得到一个数字的序列（其中也包括无穷大数）：
1,2,3,4,5…… ℵ0, ℵ, ℵ, ℵ……
当我们说“一条线上有 ℵ个点”，或“存在 ℵ条不同的曲线”时，就和我们在说“世界分为七大洲”或“一盒纸牌有 52 张牌”时，没什么两样。
