导函数的正负与原函数的关系,导函数的正负关系图解

首页 > 实用技巧 > 作者:YD1662024-02-03 22:22:40

我们利用导数解决原函数的单调性问题时,运用的原理是“导数的正负决定原函数的增减”,因而判定导函数的正负就显得尤为关键啦,导函数本身也是一个函数,所以我们这其实是一个判定函数的正负的问题,如果函数中含参,又给定区间,往往意味着要分类讨论,分类讨论是很多同学心中的痛,这“痛”无外乎:一痛“无从下手”;二痛“半路夭折”;三痛“丢盔弃甲”。

我们今天就专门解决给定区间的含参函数的正负问题。函数值的正负我们通常可以通过在数轴(即x轴)上“穿针引线”来体现,归纳为口诀:上为正,下为负,正负分界交点即零点。(如图一)

导函数的正负与原函数的关系,导函数的正负关系图解(1)

图一

看图我们容易解决下列问题:有没有零点?多少个零点?零点怎么分布?通过这根“线”就一目了然啦,但是,这“线”怎么“引”?这是个大问题,这就要求我们事先预估函数的大致图像!解决含参函数正负问题,我们的大致图像要体现三个方面:图像形状,图像走势,图像零点。

现在,我们搞定含参函数的正负问题的大招就正式亮出:问三次,答三次;答一次,算一步;三步走完,成功上岸!

导函数的正负与原函数的关系,导函数的正负关系图解(2)

问三次什么?一问图像形状,二问图像走势,三问零点分布。

一问图像形状有哪些?

从单调性的角度看,函数图形的形状可以分为三种:

第一种:平直型;

就是常数函数f(x)=C(常数),图像是一条 水平直线,函数值不变。 (如图二)

导函数的正负与原函数的关系,导函数的正负关系图解(3)

图二

第二种:斜坡型;(如图三,四)

就是单调函数:始终增或始终减。

导函数的正负与原函数的关系,导函数的正负关系图解(4)

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