【解析】题中条件给了共端点A和等线段“AB=AC，AD=AE”，也就具备了旋转的条件，所以△ACD可以认为是△ABE绕点A顺时针旋转得到的，旋转角为∠BAC（或∠DAE），故①正确；
△ACD和△ABE是旋转前后的三角形，AM和AN分别是两个三角形的中线，所以AM和AN是旋转前后对应边，所以AM=AN，则△AMN是等腰三角形，且∠MAN就等于旋转角∠BAC，根据旋转的性质④可得△ABC∽△AMN，故②正确；
只能判断出△AMN是等腰三角形，无法做出等边三角形的判定，故③错误；
若点D是AB的中点，则DE是△ABE的中线，由于三角形的中线平分面积，所以S△ABE=2S△ADE，又因为△ACD≌△ABE，所以S△ACD=2S△ADE，故④正确.
故答案为：①②④.
点评：本题考点有相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质，是不是感觉考察的知识点繁多？其实若能熟练掌握旋转的知识，就可以根据旋转的性质快速得到正确答案，并且举一反三，还能得到题中△ACN≌△ABM，△AND≌△AME。（你能说出理由吗？）
【典型例题2】
（1）提出问题：如图①，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B，C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN.求证：∠ABC =∠ACN.
（2）探究问题：如图②，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B，C），连结AM，以AM为腰作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC,连结CN.探究：（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
【解析】方法不唯一，本题从旋转的角度解答。
（1）易证△ABM≌△ACN，由于具备“等线段共端点”的条件，可以认为△ABM绕点A逆时针旋转60°得到△ACN。
（2）△ABM和△ACN是旋转放缩的关系，可证△ABM∽△ACN得到答案。由∠AMN=∠ABC，△ABC和△AMN是等腰三角形，得△ABC∽△AMN，∠BAC=∠MAN，所以∠BAM=∠CAN，又因为AB：AM=AC：AN，所以△ABM∽△ACN，∠ABC =∠ACN.
【典型例题3】
如下图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB′C′D′，使得点B′恰好落在对角线BD上，连接DD′，则DD′的长为_____．
【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝√3，∴AD＝BC＝√3，∴tan∠ABD＝√3 ，∴∠ABD＝60°，∵AB＝AB′，∴△ABB′是等边三角形，∴∠BAB′＝60°，∴∠DAD′＝60°，∵AD＝AD′，∴△ADD′是等边三角形，∴DD′＝AD＝BC＝ √3
【典型例题4】
如下图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，∠PAC ∠PCA=½α．连接PB，试探究PA，PB，PC满足的等量关系．
（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP＇，连接PP＇，如图1所示．由△ABP≌△ACP＇可以证得△APP＇是等边三角形，再由∠PAC ∠PCA=30°，可得∠APC的大小为_____度，进而得到△CPP＇是直角三角形，这样可以得到PA，PB，PC满足的等量关系为__________.（要求写出规范解题过程）
（2）如图2，当α=120°时，请参考（1）中的方法，探究PA，PB，PC满足的等量关系，并给出证明.
【解析】（1）背景图形是“等线段共端点”考虑旋转，根据旋转变换的性质得到△PAP′为等边三角形，得到∠P′PC=90°，根据勾股定理解答即可，答案为：150，PA² PC²=PB²；
（2）如下图，作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′，作AD⊥PP′于D，由旋转变换的性质可知，∠PAP′=120°，P′C=PB，∴∠APP′=30°，又∠PAC ∠PCA=60°，则∠APC=120°，∴∠P′PC=90°，∴PP′² PC²=P′C²，由∠APP′=30°，得PD=√3/2·PA，∴PP′=√3PA，∴3PA² PC²=PB².
