事实证明，我们可以用称为鸽笼原理（pigeonhole principle）的规则来证明我们永远不会做得更好。
鸽笼原理说，如果有n个对象被放入k个空间中，那么至少存在一个空间，其中有n/k或更多的对象。
假设有5个鸽笼放16只鸽子。如果试图使每个鸽笼中有3只或更少的鸽子，那么只能容纳最多15只鸽子，所以有16只鸽子时，至少有一个鸽笼中必须有4只或更多的鸽子。
如果只关注正方形网格的行，并忽略列和对角线，那么可以把点当作鸽子，行当作鸽笼。每一行本身就是一条线，根据规则，每行最多只能有2个点，这意味着在一个n x n的网格上，最多只能放2n个点。
所以我们找到了一个上界，但我们现在还不知道当n取任意值时，是否总能达到这个上界。实际上，我能找到的最大网格是n=52，在上面最多放2n（104）个点，使得没有三个点在同一直线上。
下界
可以使用越来越强大的计算机搜索越来越大的网格，但在数学中，我们更喜欢一般的情况。那么，对于n非常大时应该怎么办？比如n=1000或者更大呢？我们已经有一个上界。也许我们可以找到一个下界。
文献中出现的第一个下界来自极其多产的数学家保罗·埃尔德什（Paul Erdős）。
