是这个级数的前n项和，如果数列{An}收敛于A。
则我们说该级数和为A。
以上，我们严格的给出了一个级数求和的方式：用级数的前n项和去逼近其真实的值。按这种方式，我们得到的和是所谓的柯西(Cauchy)和。
我们有理由相信按照柯西和的方式求得的“和”是正确且严谨的，但是，我们有什么理由相信，就不存在其它的同样正确而严谨的途径，来求得无穷级数的“和”呢？
意大利数学家切萨罗(Cesàro)，就提出了另一种方式去让我们求得无穷级数的“和”，同样利用极限去逼近，但切萨罗却是利用前n项的部分和的平均来完成这件事。切萨罗定义了一个新的数列{Cn}，其中：
是这个级数的前n项部分和的平均，如果数列{Cn}收敛于C。
则我们说该级数的和为C。
可以证明，如果级数在柯西和下求得结果为α，那么在切萨罗和下结果与柯西保持一致，也为α。
关于切萨罗和与柯西和的比较，我们暂且绕开计算复杂度不表，仅仅从数学的严谨性上来看，我们完全找不到一个理由去说：柯西和优于切萨罗和。我们应该认为，这两种求和的方式，起码在数学地位上是平等的。了解更多数学故事，推荐阅读《数学和数学家的故事》
无独有偶，对于无穷级数“和”的定义，除了切萨罗和外，还有阿贝尔(Abel)和、拉玛努金(Ramanujan)和等等，切萨罗还对上述求和进行推广，给出了广义切萨罗求和的概念。我们不应该在我们仅仅了解柯西和的情况下去否认这些各式各样的“和”的正确性。
但似乎切萨罗这群数学家们在干一件费力不讨好的事情，柯西和的定义不仅直观而且便于计算，得到的结果也不算糟糕，那么，刚刚说到的这些人们，是不是只是在做无用功呢？
一二三四，再来一次
了解了我们在求什么，我们重新回到最开始的问题上。这次我们用理性的，科学的方式重新对刚刚那几个级数求一次和。
首先是格兰迪级数S1：
