是这个级数的前n项和,如果数列{An}收敛于A。
则我们说该级数和为A。
以上,我们严格的给出了一个级数求和的方式:用级数的前n项和去逼近其真实的值。按这种方式,我们得到的和是所谓的柯西(Cauchy)和。
我们有理由相信按照柯西和的方式求得的“和”是正确且严谨的,但是,我们有什么理由相信,就不存在其它的同样正确而严谨的途径,来求得无穷级数的“和”呢?
意大利数学家切萨罗(Cesàro),就提出了另一种方式去让我们求得无穷级数的“和”,同样利用极限去逼近,但切萨罗却是利用前n项的部分和的平均来完成这件事。切萨罗定义了一个新的数列{Cn},其中:
是这个级数的前n项部分和的平均,如果数列{Cn}收敛于C。
则我们说该级数的和为C。
可以证明,如果级数在柯西和下求得结果为α,那么在切萨罗和下结果与柯西保持一致,也为α。
关于切萨罗和与柯西和的比较,我们暂且绕开计算复杂度不表,仅仅从数学的严谨性上来看,我们完全找不到一个理由去说:柯西和优于切萨罗和。我们应该认为,这两种求和的方式,起码在数学地位上是平等的。了解更多数学故事,推荐阅读《数学和数学家的故事》
无独有偶,对于无穷级数“和”的定义,除了切萨罗和外,还有阿贝尔(Abel)和、拉玛努金(Ramanujan)和等等,切萨罗还对上述求和进行推广,给出了广义切萨罗求和的概念。我们不应该在我们仅仅了解柯西和的情况下去否认这些各式各样的“和”的正确性。
但似乎切萨罗这群数学家们在干一件费力不讨好的事情,柯西和的定义不仅直观而且便于计算,得到的结果也不算糟糕,那么,刚刚说到的这些人们,是不是只是在做无用功呢?
一二三四,再来一次
了解了我们在求什么,我们重新回到最开始的问题上。这次我们用理性的,科学的方式重新对刚刚那几个级数求一次和。
首先是格兰迪级数S1: