让我们再看一遍高斯的质数统计表。每当高斯把第一列的数字变成原来的的十倍时，记录骰子面数的最后一列中的数字大约会增加2.3。这样，我们就得到了有关质数的一个规律。高斯意识到，还有一个函数也有同样的功能，能把乘法变为加法，这就是对数函数。
17世纪，苏格兰男爵约翰·纳泊尔第一次发现了质数函数在数学中的重要作用。当时的人们普遍认为纳泊尔与恶魔结盟，因为他肩上扛着一只黑乌鸦，拎着一只小笼子里的蜘蛛在城堡里边走边咕哝着关于他的创世纪代数理论的预言。但今天，他因发明了对数函数被人铭记.
我们将数字 N 输入到对数函数中，会输出一个数字
它是下列方程的解。例如:
把输入乘以 10，输出就会加 1。
但是我们不必总是选择 10 来做 x 的底数，选择 10 只是由于我们有十个手指。不同的对数函数可以有不同的底数。每当输入乘以 10，高斯的质数骰子函数的输出都会增加 2.3。这个函数类似于一个对数函数，这个对数函数的底数称为 e=2.718281828459….
高斯猜测一个数N是质数的概率是1/log（N），其中，对数的底数取e。这是掷出一个有log（N）面的骰子，“质数”面朝上的概率。注意，当 N 变大时，log（N）也变大，在质数边朝上的概率随之变小。随着数字增大，质数的分布越来越稀疏。
如果大自然将质数骰子掷 100000 次，有着不同面数的骰子分别能得到多少质数？如果骰子有一个固定的边数，比如 6，那么得到的质数个数大约是 100000/6，这是 1/6 加起来 100000 次的概率。现在高斯改变每枚骰子的面数.得到的质数的个数应该分别是
斯将质数的这一猜测精确化为一个称为对数积分的函数，用 Li(N) 表示。高斯猜想与真实质数情况相比如何？我们可以看左边的图表。红线是高斯用他的质数骰子得到的，蓝线记录的是质数的真实数目。
