现在我们简要解读余弦定理的证明，我们都知道余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的基础。所以根据勾股定理我们知道，在直角三角形ACB中，当<C=90度时有，c²=a² b²
下面我们就具体的讨论解读余弦定理的证明。
在任意三角形ABC，已知两边和它们的夹角，怎样求出这个角对边的平方？我们首先证明下面的一个结论。在三角形ABC中
a²=b² c²-2bccosA
我们按着角的大小，分为两种情况来证明。
一、当角A是锐角时，在三角形ABC中作CD丄AB。由此我们看到，
a²=CD² BD²
∵CD²=b²-AD²，
BD=c-AD
∴a²=b²-AD² (c-AD)²
=b²-AD² c²-2cAD AD²
=b² c²-2cAD
同学们自己把图形画出来，并标清元素符号。
在直角三角形ACD中，
∵AD=bcosA
∴a²=b² c²-2bccosA
二、当<A是钝角时，在三角形ABC中作CD丄AB
∵c²=CD² BD²
CD²=b²-AD²，BD=c AD
∴a²=b²-AD² (c AD)²
=b²-AD² c² 2cAD AD²
=b² c² 2cAD
在直角三角形ACD中
AD=bcos(180-A)=
-bcosA
因此我们又得到
a²=b² c²-2bccosA
结论，不管是锐角或钝角三角形都有下面的定理，即余弦定理
余弦定理，在三角形中任意一边的平方，等于另外两边的平方减去这两边与它们夹角的余弦积的两倍。用公式表示
a²=b² c²-2bccosA
b²=a² c²-2accosB
c²=a² b²-2abcosC
对于直角三角形来说，当
A=90时，这时cosA=0
余弦定理也就转化为勾股定理。即
a²=b² c²
所以我们说勾股定理是余弦定理的基础，余弦定理是勾股定理的推广，也是余弦定理的一个特例。
我们还要知道余弦定理，是反应三角形边角关系的一个重要定理，同时也要注意余弦定理的变形和推论。
由余弦定理还可以得到
cosA=b² c²-a²/2bc
cosB=a² c²-b²/2ac
cosC=a² b²-c²/2ab
利用余弦定理可以解决两方面的问题，它的操作法则是
1、已知两边和夹角解三角形
2、己知三边解三角形
关于求解试题，以后我们要做专题介绍。
另外同学们还要掌握余弦定理的三个推论
1、在三角形中，某一个内角为锐角的充要条件，是它对边的平方小于其它两边的和。即A是锐角可以推出:
a²<b² c²
2、在三角形中某一个内角，是直角的充要条件，是它对边的平方等于其余两边的平方和，即A是直角可以推出
a²=b² c²
3、在三角形中某一个内角是钝角的充要条件，是它对边的平方大于其它两边的平方和。即A是钝角又可以得出
a²>b² c²
再就是，同学们还要理解和掌握角元形式的三个公式
1、cosA=
sin²B sin²C-sⅰn²/
2sinBsinC
2、cosB=
sⅰn²A sin²C-sin²B/
2sinAsinC
3、cosC=
sin²A sin²B-sin²C/
2sinAsinB
关于余弦定理的证明，就简要解读到这里。有错误的地方，希望同学们自己再检验一下。也希望审核老师和同学们批评指正。
谢谢！
(名词解释"充要条件":充分必要的条件。也可以说，"充要条件"是个简称)
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