在概率方面，质数定理指出，如果你随机选择一个自然数x，这个数成为质数的概率P(x)大约是1 / ln(x)。这意味着前x个整数中连续素数之间的平均差约为ln(x)。
对数积分函数函数Li(x)定义为除x = 1外的所有正实数。它由2到x的积分定义：
- 对数积分函数的积分表示
将这个函数与质数计数函数和质数定理的公式画在一起，我们可以看到Li(x)实际上是一个比x/ln(x)更好的近似：
- 对数积分函数Li(x)，素数计数函数π(x)和x/ln(x)一起绘制。
这是一个多么好的近似值，如果我们做一个x值的表，可以看出：
- 在给定的十次幂以内的素数数目以及这两种估计的相应误差项
从这里可以很容易地看出，对数积分函数的近似值远远优于质数定理中的函数，仅在x = 10的14次方时“超调”了314,890个质数。然而，这两个函数都收敛于质数计数函数π(x)。Li(x)要快得多，但当x趋于无穷时，质数计数函数与Li(x)和x/ln(x)之间的比值趋于1。可视化为：
