难题解决： 这个叫霍奇猜想的问题 ，假如用通俗的话说，就是"再好再复杂的一座宫殿，都可以由一堆积木垒成"。如果用文人的语言说就是: 任何一个形状的几何图形，不管它有多复杂(只要你能想得出来)，它都可以用一堆简单的几何图形拼成。而在实际工作中，我们无法在二维平面的纸上绘画出来一种复杂的多维图形，霍奇猜想就是把复杂的拓扑图形分拆成为一个个构件，我们只要按照规则安装就可以理解设计者的思想。霍奇猜想提出不到100年，至今有了第一个例子 。
霍奇(Hodge)猜想， 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广;最终导致一些强有力的工具，让数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。
霍奇猜想曾经断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。
三、庞加莱猜想
提出人：庞加莱猜想是法国数学家庞加莱提出的猜想，曾经是克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题之一。其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。2006年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，它将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。
亨利·庞加莱(Henri Poincaré)，法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家。他1854年4月29日生于法国南锡，1912年7月17日卒于巴黎。亨利·庞加莱的成就不在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，只是其中的一个。
世界上一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱(Henri Poincare): "有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。"
事实上，1904年，法国数学家亨利·庞加莱在提出了一个拓扑学的猜想: "任何一个单连通的，封闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。" 如果简单的说，一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间;单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间,假如每条封闭的曲线都能收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球。后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为"高维庞加莱猜想"。
假如你认为这个说法太抽象的话，下面不妨做这样一个想象: 我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。
我们不妨再假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，十分结实，没有窗户没有门，我们在这样的球形房子里。拿一个气球来，带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以。这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以(对形状也有一定要求)。但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。还要假设这个气球的皮是无限薄的。
接着，我们继续吹大这个气球，一直吹。吹到最后会怎么样呢?庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。
我们还可以换一种方法想想: 假如我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是"单连通的"，而轮胎面不是。
看起来这是不是非常容易想明显? 事实上，数学可不是"随便想想"就能证明一个猜想的，这需要严密的数学推理和逻辑推理。一个多世纪以来，无数的科学家为了证明它，并且绞尽脑汁、甚至于倾其一生还是无果而终。
难题解决：格里戈里·佩雷尔曼在花了8年时间研究这个差不多足有一个世纪的数学难题后，在2002年11月和2003年7月之间，将3份关键论文的手稿粘贴到arXiv.org这个专门刊登数学和物理预印本论文的网站上，并用电邮通知了几位数学家，声称自己证明了几何化猜想。
到2005年10月，数位专家宣布验证了该证明，一致的赞成意见几乎已经达成： "如果有人对我解决这个问题的方法感兴趣，都在那儿呢-让他们去看吧。"佩雷尔曼说，"我已经发表了我所有的算法，我能提供给公众的就是这些了。"
佩雷尔曼的做法让克雷数学研究所大伤脑筋。因为按照这个研究所的规矩，宣称破解了猜想的人需在正规杂志上发表并得到专家的认可后，才能获得100万美元的奖金。显然，佩雷尔曼并不想把这100万美金放到他那很微薄的收入中去。2006年，在佩雷尔曼公布他的3篇文章中的第一篇之后近4年，专家们终于达成了共识:佩雷尔曼解决了这个学科最令人肃然起敬的问题之一。但是猜想的解决却触发了一场风波。
对于佩雷尔曼，很多人知之甚少。他是一位伟大的数学天才，出生于1966年6月13日，他的天分使他很早就开始专攻高等数学和物理。16岁时，他曾经以优异的成绩在1982年举行的国际数学奥林匹克竞赛中摘得金牌。另外，他还是一名天才的小提琴家，并且桌球打得也相当出色。
从圣彼得堡大学获得博士学位后，佩雷尔曼一直在俄罗斯科学院圣彼得堡斯捷克洛夫数学研究所工作。上个世纪80年代末，他曾经到美国多所大学做博士后研究。之后又在斯捷克洛夫数学研究所，继续他的宇宙形状证明工作。
证明庞加莱猜想关键作用让佩雷尔曼很快曝光于世界，但他似乎并不喜欢与媒体打交道。据有人介绍说，有一个记者想给他拍照，被他大声制止; 而对于大名鼎鼎的《自然》《科学》采访，他同样不屑一顾。
"我认为我所说的任何事情都不可能引起公众的一丝一毫的兴趣。"佩雷尔曼说，"我不愿意说是因为我很看重自己的隐私，或者说我就是想隐瞒我做的任何事情。这里没有顶级机密，我只不过认为公众对我没有兴趣。"他坚持自己不值得如此的关注，并表示对飞来的横财没有丝毫的兴趣。
国际数学家联盟主席John Ball曾秘密拜访佩雷尔曼，他的唯一目的是说服佩雷尔曼接受将在8月份国际数学家大会上颁发的菲尔兹奖。无疑这可是全球数学界的最高荣誉，此前，全球共有44位数学家获此殊荣，世界上还没有人拒绝接受这个荣誉。但是，面对Ball教授两天共十个小时的劝说，佩雷尔曼的回答只是"我拒绝。"他解释说:"如果我的证明是正确的，这种方式的承认是不必要的。"
四、黎曼假设
提出人：黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家黎曼于1859年提出。希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，被认为是20世纪数学的制高点，其中便包括黎曼假设。现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼猜想。
与费尔马猜想是相隔三个半世纪以上才被解决，哥德巴赫猜想经历了两个半世纪以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一个半世纪的纪录还差很远，但它在数学上的重要性要远超过这两个知名度更高的猜想。
