世界十大最顶尖数学难题
世界十大数学难题是人类攀登高峰的追求极点，是数学领域的皇冠！其中闻名遐迩的所谓“七大数学难题”，是由美国克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute, CMI)提出的。2000年5月24日，克雷数学研究所宣布，该机构收集了数学历史上极其重要的七道经典难题，而解答出其中任何一题的第一个人将获得100万美元奖金。
因此，这七道题也被称为“七大数学难题”。这七道题分别是P与NP问题（NP完全问题）、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨－米尔斯存在性和质量缺口假设（杨－米尔斯理论）、纳维叶－斯托克斯方程（纳卫尔－斯托可方程）、贝赫和斯维讷通－戴尔猜想（BSD猜想）。以下列举了更全面的所有的世界十大数学难题分别介绍如下：
一、P(多项式时间)问题对NP(非确定多项式时间)问题
在周末的一个晚上，若你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人曾经向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不出一秒钟，你就会向那里扫视，并发现你的主人是正确的。
但是，假如没有这样的暗示，你势必环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解，通常比验证一个给定的解时间花费要多很多。这是一般现象的一个例子。相类似的问题是：假如某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你或者不知道是否应该相信他，但如果他告诉你它可以因式分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是正确的。
人们发现，所有的完全多项式非确定性问题，都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案，都可以在多项式时间内计算，人们于是就会猜想是否这类问题存在一个确定性算法，可以在多项式时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢?这就是非常著名的NP=P?的猜想。
提出人：P对NP问题，曾经是克雷数学研究所高额悬赏的七个千禧年难题之一，同时也是计算机科学领域的最大难题，因为关系到计算机完成一项任务的速度到底有多快。P对NP问题是Steve Cook于1971年首次提出。
"P/NP问题"：这里的P指多项式时间(Polynomial)，一个复杂问题如果能在多项式时间内解决，那么它便被称为P问题，这意味着计算机可以在有限时间内完成计算;NP指非确定性多项式时间(nondeterministic polynomial)，一个复杂问题不能确定在多项式时间内解决，假如NP问题能找到算法使其在多项式时间内解决，也就是证得了P=NP。比NP问题更难的则是NP完全和NP-hard，比如围棋就是一个NP-hard问题。2010年8月7日，来自惠普实验室的科学家Vinay Deolalikar声称已经解决了"P/NP问题" ，并公开了证明文件。
难题解决：美国惠普实验室的数学家维奈·迪奥拉里卡围绕一个众所周知的NP问题进行论证，并且给出了P≠NP的答案。这就是布尔可满足性问题(Boolean Satisfiability Problem)，即询问一组逻辑陈述是否能同时成立或者互相矛盾。迪奥拉里卡声曾经称，他已经证明，任何程序都无法迅速解答这个问题，因此，它不是一个P问题。
如果迪奥拉里卡的答案成立，说明P问题和NP问题是不同的两类问题，同时也意味着计算机处理问题的能力有限，很多任务的复杂性从根本上来说也许是无法简化的。
对于有些NP问题，包括因数分解，P≠NP的结果并没有明确表示它们是不能被快速解答的;但对于其子集NP完全问题，却注定了其无法很快得到解决。其中一个著名的例子就是旅行商问题(Travelling Salesman Problem)，即寻找从一个城市到另一个城市的最短路线，答案非常容易验证，不过，如果P≠NP，就没有计算机程序可以迅速给出这个答案。迪奥拉里卡的论文草稿已经得到了复杂性理论家的认可，但随后公布的论文终稿还将接受严格的审查。
二、霍奇(Hodge)猜想
提出人：霍奇猜想曾经是代数几何的一个重大的悬而未决的难题。它是由威廉·瓦伦斯·道格拉斯·霍奇提出，它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。属于世界七大数学难题之一。
值得一提的是，霍奇猜想与费马大定理和黎曼猜想成为广义相对论和量子力学融合的m理论结构几何拓扑载体和工具。而黎曼假设、庞加莱猜想、霍奇猜想、贝赫和斯维讷通-戴尔猜想、纳维叶―斯托克斯方程、杨―米尔理论、P问题对NP问题一直被世界称为21世纪七大数学难题。2000年5月，美国的克莱数学促进会为每道题悬赏百万美元求解。
霍奇猜想是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。它在霍奇的著述的一个结果中出现，他在1930至1940年间通过包含额外的结构丰富了德拉姆上同调的表述，这种结构出现于代数簇的情况(但不仅限于这种情况)。
苏格兰数学家威廉·霍奇: 怎么能知道哪些类的同源性在任何给定歧管，相当于一个代数周期? 无疑这是一个伟大的想法，仅仅是他不能证明。 我们有一个小的平滑的"空间"(在每个邻域类似于欧几里德空间，但在更大的规模上，"空间"是不同的)，这是由一群方程描述，使得这个空间具有均匀的维度。 然后我们获取基本的"拓扑"信息，并将其分解成更小的几何部分(由数字对标记)。几何部分内的理性东西被称为"Hodge循环"。 每个较小的几何部分是称为代数循环的几何部分的组合。 基本上我们有一个"桩"。我们仔细看看它，看看它是由许多"切碎的木材"组成。"切碎的木材"里面有"twigs"(霍奇循环)。霍奇猜想曾经断言，对于成堆的切碎的木材，树枝实际上是被称为原子(代数循环)的几何部分的组合。
