1932年，德国数学家C.L.Siegel整理的黎曼遗稿中给出了黎曼猜想的证明。文章的作者根据手稿中的一个结论性公式，直接推导出来ζ(s)函数在矩形区域的零点全部落在临界线上。
2018年9月24日，德国海德堡，著名数学家阿蒂亚爵士（Michael Atiyah）在演讲时表示，自己已经证明了黎曼猜想。
黎曼猜想是黎曼1859年提出的，这位数学家于1826年出生在德国的布列斯伦茨小镇。1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为"论小于给定数值的素数个数"的论文。这篇仅仅有短短八页的论文最终成为黎曼猜想的"诞生地"。
事实上，黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就十分感兴趣的问题：即素数的分布。素数是像2、5、19、137那样除了1和自身以外不能被其他正整数整除的数。这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的乘积。从某种意义上讲，它们在数论中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的原子。素数的定义简单得可以在中学甚至小学课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎寻常，世界上的数学家们曾经付出了极大的精力，迄今为止却仍然未能彻底了解其中。
黎曼论文的一个重大的成果，就是发现了素数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函数之中，尤其是使那个函数取值为零的一系列特殊的点对素数分布的细致规律有着决定性的影响。那个函数如今被称为黎曼ζ函数，那一系列特殊的点则被称为黎曼ζ函数的非平凡零点。
黎曼的文章的成果尽管重大，但文字却十分简练，甚至简练得有些过分，因为它包括了很多"证明从略"的地方。而最要命的是，"证明从略"原本是应该用来省略那些显而易见的证明的，黎曼的论文却并非如此，他那些"证明从略"的地方有些却花费了后世数学家们几十年的努力才最终得以补全，有些甚至直到今天仍然是空白。但黎曼的论文在为数不少的"证明从略"之外，却引人注目地包含了一个他明确承认了自己无法证明的命题，那个命题就是黎曼猜想。 黎曼猜想自1859年"诞生"以来，已过了一百五十多年，在这期间，它就像一座高大的山峰，吸引了世界无数数学家前去攀登，但却谁也没能成功登顶。
难题解决：黎曼猜想由德国数学家黎曼(Bernard)于1859年提出，其中涉及了素数的分布，被认为是世界上最困难的数学题之一。荷兰三位数学家J.van de Lune，H.J.Riele te及D.T.Winter利用电子计算机来检验黎曼的假设，他们对最初的二亿个齐打函数的零点检验，证明黎曼的假设是对的，他们在1981年宣布他们的结果，他们还继续用电子计算机检验底下的一些零点。
1982年11月苏联数学家马帝叶雪维奇在苏联杂志《Kibernetika》宣布，他利用电脑检验一个与黎曼猜想有关的数学问题，可以证明该问题是正确的，从而反过来可以支持黎曼的猜想很可能是正确的。
1975年美国麻省理工学院的莱文森在他患癌症去世前证明了No(T)>0.3474N(T)。1980年中国数学家楼世拓、姚琦对莱文森的工作有一点改进，他们证明了No(T)>0.35N(T)。1932年C.L.Siegel发表的文章中 ，有下面这样一个公式:
文章的作者根据这个公式的几何意义以及cos函数的零点性质，直接推导出来No(T)=N(T)，即证明了区域内的零点全部落在临界线上。
C.L.Siegel从黎曼的遗稿中共整理出来四个公式，其中有三个公式在文献和教科书中经常出现 ，唯独上面这个公式，80多年来很少有文献提到它，就连C.L.Siegel 本人对于这个公式的作用也大惑不解。实际上，只要跳出解析数论来看黎曼手稿，就能清楚地看到，黎曼用复分析的几何思想严格的证明了现代所说的"黎曼猜想"。这也许是数学史上最大的冤案。
2016年11月17日，尼日利亚教授奥派耶米 伊诺克(Opeyemi Enoch)成功解决已存在156年的数学难题——黎曼猜想，获得100万美元(约合人民币630万元)的奖金。
2000年，美国克莱数学研究所(Clay Mathematics Institute)将黎曼猜想列为七大千年数学难题之一。2018年9月，迈克尔·阿蒂亚声明证明黎曼猜想，将于9月24日海德堡获奖者论坛上宣讲，迈克尔·阿蒂亚贴出了他证明黎曼假设（猜想）的预印本
2018年9月24日，德国海德堡，著名数学家阿蒂亚爵士（Michael Atiyah）在演讲时表示，自己已证明了黎曼猜想。利用todd函数反证法，证明了所有零点都在临界线上。他公开了这篇研究论文，总共5页。在论文中，借助量子力学中的无量纲常数α（fine structure constant），阿蒂亚声称解决了复数域上的黎曼猜想。
阿蒂亚说他希望理解量子力学中的无量纲常数——精细结构常数。因为精细结构常数大约等于1/137，刻画的是电磁相互作用的强度。比如在氢原子中，我们大致可以说电子绕原子核的速度是1/137再乘上光速。阿蒂亚指出，理解精细结构常数只是最初的动机。在这个过程中发展出来的数学方法却可以理解黎曼猜想。
在论文的最后，阿蒂亚说，精细结构常数与黎曼猜想，用他的方法，已经被解决了。当然他只解决了复数域上的黎曼猜想，有理数域上的黎曼猜想，他还需要研究。另外，随着黎曼猜想被解决，阿蒂亚认为，bsd猜想也有希望被解决。当然，现在阿蒂亚认为，引力常数G是一个更难理解的常数。在黎曼猜想中，我们看到非平凡零点的实部都等于1/2，这是一个让人很意外的常数。虽然我们可以从一个简单的对称关系中看出为什么会出现1/2。
五、杨-米尔斯存在性和质量缺口
提出人：《杨米尔斯的存在性和质量缺口》是世界七大数学难题之一，问题起源于物理学中的杨·米尔斯理论。该问题的正式表述是:证明对任何紧的、单的规范群，四维欧几里得空间中的杨米尔斯方程组有一个预言存在质量缺口的解。该问题的解决将阐明物理学家尚未完全理解的自然界的基本方面。
量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨-米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实:布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于"夸克"的不可见性的解释中应用的"质量缺口"假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。
难题解决：2013年4月17日，韩国建国大学宣布，该校赵庸民教授数学(物理学)研究组破解出了世界七大数学难题中的"杨-米尔斯存在性和质量缺口假设(Yang-Mills and Mass Gap)"(杨-米尔斯理论)一词。赵庸民教授是粒子物理学理论、宇宙论以及统一场领域的理论物理学家。
韩国数学家破解出的世界“七大数学难题(Millennium Problem)”中的一题。该问题悬赏金额为100万美元。赵庸民教授是粒子物理学理论、宇宙论以及统一场领域的理论物理学家。据悉，赵教授的算法虽然已刊登在国际权威物理学期刊上，却还没有得到克雷数学研究所的认证。当时克雷数学研究所要通过最长两年的时间来证明这个解题过程是否正确。
六、纳维叶-斯托克斯方程的存在性与光滑性
提出人：纳维-斯托克斯方程(英文名:Navier-Stokes equations)，描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。简称N-S方程。粘性流体的运动方程首先由Navier在1827年提出，只考虑了不可压缩流体的流动。Poisson在1831年提出可压缩流体的运动方程。
