解：如图1，取BC的中点E，连接AE，交半圆于P'，在半圆上取一点P，连接AP，EP，
在△AEP中，AP EP＞AE，即：AP'是AP的最小值，
∵AE＝√5，P'E＝1，∴AP'＝√5﹣1；
故答案为：√5﹣1；
变式1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1 a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是______．
【解析】∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1 a，0）（a＞0），
∴AB＝1﹣（1﹣a）＝a，CA＝a 1﹣1＝a，∴AB＝AC，
∵∠BPC＝90°，∴PA＝AB＝AC＝a，
如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大，
∵A（1，0），D（4，4），∴AD＝5，
∴AP′＝5 1＝6，∴a的最大值为6．故答案为6．
变式2.如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P、Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是______．
【解析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP₁⊥BC垂足为P₁交⊙O于Q₁，
此时垂线段OP₁最短，P₁Q₁最小值为OP₁﹣OQ₁，
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AB²＝AC² BC²，∴∠C＝90°，
∵∠OP₁B＝90°，∴OP₁∥AC
∵AO＝OB，∴P1C＝P1B，∴OP₁＝1/2AC＝4，
∴P₁Q₁最小值为OP₁﹣OQ₁＝1，
如图，当Q₂在AB边上时，P₂与B重合时，P₂Q₂经过圆心，经过圆心的弦最长，
P₂Q₂最大值＝5 3＝8，∴PQ长的最大值与最小值的和是9．
故答案为：9．
变式3、如图，边长为1的正方形ABCD中，以A为圆心，1为半径作弧BD，将一块直角三角板的直角顶点P放置在弧BD（不包括端点B、D）上滑动，一条直角边通过顶点A，另一条直角边与边BC相交于点Q，连接PC，则△CPQ周长的最小值为____________.
