“测地线”是微分几何学中最重要和最基本的概念之一，也是几何学最基本的研究对象。测地线的研究不仅推动了几何学的发展，实际上很多物理定律及现象也可以通过测地线的相关结论来合理解释。那么，什么是测地线，它又有怎么的性质呢？
测地线(Geodesic)一词最早不属于几何这个学科，而是来自大地测量学(Geodesy)，这一点我们从它的名字大概就能看出来。伟大的数学王子高斯，曾经主持过一项浩大的工程，那就是为汉诺威王国绘制详细的地图，为此他耗费大量时间实地测量，之后利用最小二乘法等数学方法处理相关数据，极大地提高了地图精度。在这个过程中，测地线就是高斯经常遇到的数学对象。
我们先从最简单的欧式空间说起，这种情况下的测地线有非常好的几何描述，那就是它是连接两点的最短路径，也就是我们非常熟悉的直线段，从严格的数学角度来说，这正是直线段的定义。欧式空间上的测地线的确平淡无奇，没有什么好研究的，但当空间的形状改变时，情况就没有这么显然了。
例如球面，我想很多人都并不知道球面上的测地线是什么样的，即使知道可能也不清楚背后严格的数学系证明。可能很容易猜得到连接球面两点之间的最短路径位于过球心的大圆上，但要非常严格地说明这件事却并不太容易。而且为了更好地获得测地线的信息，我们必须要有更为一般的理论，以便分析更为复杂的空间。
为此我们要先简单介绍一下曲线的测地曲率。测地曲率有非常形象化的解释：
对于曲面S中的曲线C，它在曲面S的P点处切平面上会产生一条投影曲线，而原曲线C的测地曲率就等于投影曲线的相对曲率。
利用测地曲率，我们就可以得到曲面上测地线的定义：
曲面上测地曲率恒为0的曲线成为测地线。
但这样定义出来的曲线还会是连接任意两点的最短曲线吗？事实上，测地线包含所有曲面上的最短曲线，而且会往往超出这个范围，也就是说，最短曲线一定是测地线，但测地线不一定最短。产生这种现象的原因在于我们仅仅使用曲率，或者说曲面的度量来定义测地线，但曲线的最短性并非一个像高斯曲率那样的内蕴几何量，因而就无法保证最短性。还是以球面的大圆为例，对于大圆弧上的非常接近的两点，连接它们的优弧和劣弧都是测地线，但显然只有只有一条是最短的。
