表1-1：五度相生律演化出来的八度音阶(注意:音名其实是与固定音高的声音一一对应的，比如C4=261Hz，A4=440Hz)
可以看到有两种比例出现，一种是1.125，另一种是1.0535，前一种音程叫做全音，后一种叫做半音。
这套理论是通过2:3的频率比制定而成的，在乐理中这样音程被称为“纯五度”，所以这套音律被称为“五度相生律”。但是这套音律自诞生之起就饱受诟病，因为在弦乐中弹奏1:5和1:6的位置就已经很麻烦了，而且声音很不和谐，现在居然还要弹奏81:64、243:128这样的位置！
对“五度相生律”的修改自其发明的第一天起就没有断过，经过对比例简单的调整后，纯律 (Just intonation) 诞生了。但其实“纯律”的修正也很简单，只是把五度相生律的复杂比例变简单一点。即243/128变为240/128即15/8、27/16变为25/15即5/3、81/64变为80/64即5/4。这样做的好处很容易理解，就是为了容易演奏，可是坏处同样也显而易见，引入了更多不够协和的频率之比。事实上这样的改动是十分失败的！
那既然修“正”不行，那就继续细分。随着数学水平的上升，大家就开始继续细分音节，看看能不能对细分后的音节进行修“正”。于是这次由(3/2)变成了(3/2)=129.7≈2=128，这次划分十分细致，已经去到了第7个八度。具体的比例如表1-2所示。
表1-2. 最早的12声音阶
可以看出随着计算能力的上升，这一次的音阶数更多，更加细化，同时有更多的半音出现。“#”表示“升高”的意思，“b”表示“降”的意思，所以除了原始的CDEFGAB以外又多了5个半音出现，这使得整个音阶更加平滑，能够描述更多更复杂的曲调。
可12音阶也存在一个问题：在这12个音阶当中，存在两种半音，它们分别为：自然半音 (比例为1.0535)、变化半音 (比例为1.0676)。这会导致一个问题：假如我想唱一首歌，但是我自己的音域达不到这首歌原调的范围，我只能把这首歌降调来演唱，但是如果每个音阶之间的比例不一样，降一个半音或者一个全音的时候旋律就和以前不一样了，那怎么办？
后来人们又想出了各种修正的办法，比如构造一些等差数列来修正每个音与理想曲线的误差等等，但这些方法既复杂又不能从根本上解决问题。这时整个音乐界都在急迫地等待新律制的诞生。直到公元17世纪，明朝人朱载堉提出十二平均律。18世纪的时候，巴赫也创造了十二平均律，但是他的目的不是为了修善音律，只是为了更好的教自己妻子音乐而已。虽然十二平均律看起来很完美，但也不是完全没有问题。
十二平均律（表1-3）的原理并不复杂，既然是平均，那就是每个音之间的频率之比是一样的。因为一个八度为[F,2F]，那么就直接把这个1:2的关系分成十二份，每一份就是(2)=1.059，这样虽然损失了一部分完美的协和频率比，但是这套律法能够为记录和创作乐曲提供了更多可能。乐器之王钢琴上的每一个键对应的频率都可以通过十二平均率推算出来（图4）。
表1-3：十二平均律
图1-5 钢琴音高对照表
2. 统计物理与音律的发展这一部分我们将重点讲解Jesse Berezovsky的这篇《The structure of musical harmony as an ordered phase of sound: A statistical mechanics approach to music theory》，看看如何从物理的角度来解释十二平均律的出现。
