图2-4.约化序参量随温度的变化情况
同样，我们也可以绘制公式（7）中序参量随温度变化的规律。根据图2-4，似乎可以发现整个系统的“冷却”过程存在一种二阶相变。在这两个临界温度之间存在一种十分稳定的状态——即“十二平均律”阶段。
图2-5. 不同八度内的序参数的变化
因为上一次我们做的平均场近似固定了，但是从图2-1可知在不同高低的八度区间内是不一样的。所以，如果使用正确的会得到怎样的结果呢？如图2-5所示，横坐标为温度，从右到左不断降低以描绘所述的降温过程。左边的彩色矩形显示了不同颜色对应的k值，左边的纵坐标为值，对应右边从C4到C8共4个八度范围。
可以看到，在高频八度范围出现K=12的“相变区间”非常大，而在其他范围会出现一些其他的音律，比如“七声音阶”、“五声音阶”等。作者认为这样的现象来自平均场模型的限制。
原文作者提出的平均场模型近似起到一个抛砖引玉的效果，因为平均场近似并不是统计力学中最准确的模型，作者猜想也许其他模型能够更好解释音乐或者音律发展的同时，甚至可以从物理出发指导音律和音乐的发展！其实在本文的后半部分，作者还是用了XY模型 (XY model) 构建了一个属于音乐的晶格网络，“温度”降低的过程中可以发现：相邻的位置的音程符合一定的规律，甚至可以在这个晶格网络中看到主流音乐所用的三和弦、五和弦。有兴趣的读者可以查看原文，在此就不过多赘述了。
3. 结语在本文中Jesse Berezovsky使用平均场近似对一个音乐系统进行“缓慢降温”过程，在每一个时间步上都使得组成该系统的音高尽可能协和，同时不失多样性。结果表明，在某个温度下这个系统的音高组成与近代音律的发展相似。似乎在冥冥之中物理和艺术存在着交汇点。这不禁让笔者惊喜而又后怕，惊喜的是没想到严谨的物理与数学居然能够与艺术有所纠葛；后怕的是那些艺术家们穷极一生所创造的作品，就像散落在夜空里的星星。在我们小的时候成为我们夏日幻想，而在长大的某一天我们才意识到那有可能只是一颗冰冷的星球不知道反射了谁的光芒。
不过笔者认为即使是这样人们也不应该停下追求真理的脚步，因为这个世界是如此复杂，要想走到最后可没那么容易；而且无论是音乐、绘画、甚至是表演。既然他如此美好，那么我相信即使人类有一天能够走到最后，结果也应该不会太差。
本文参考资料
[1] Berezovsky J. The structure of musical harmony as an ordered phase of sound: A statistical mechanics approach to music theory[J]. Science Advances, 2019, 5(5): eaav8490.
[2] Plomp R, Levelt W J M. Tonal Consonance and Critical Bandwidth[J]. The Journal of the Acoustical Society of America, 1965, 38(4): 548-560.
[3] 霍华德, ) D M, 安格斯, et al. 音乐声学与心理声学[M]. 音乐声学与心理声学, 2010.
[4] Benson D J. Music : a mathematical offering[M]. Cambridge, UK ;: Cambridge University Press, 2007.
[5] 音乐与数学, Simon Fang
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来源：集智俱乐部
编辑：利有攸往
