或者是因系数重分配而得到新的变换对:
一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换(Fractional Fourier Transform)。分数傅里叶变换(fractional Fourier transform,FRFT)指的就是傅里叶变换(Fourier transform,FT)的广义化。
分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换 a 次,其中 a 不一定要为整数;而做了分数傅里叶变换之后,信号或输入函数便会出现在介于时域(time domain)与频域(frequency domain)之间的分数域(fractional domain)。
当f(t)为偶函数(或奇函数)时,其正弦(或余弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦变换(cosine transform)或正弦变换(sine transform).
另一个值得注意的性质是,当f(t)为纯实函数时,F(−ω) = F*(ω)成立.
傅里叶级数
连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数 (Fourier series)的推广,因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数,其傅里叶级数是存在的:
其中Fn为复幅度。对于实值函数,函数的傅里叶级数可以写成:
其中an和bn是实频率分量的幅度。
离散时域傅里叶变换
离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换(DTFT)的特例(有时作为后者的近似)。DTFT在时域上离散,在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆变换。
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换(DFT),是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式,将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换(DTFT)频域的采样。在形式上,变换两端(时域和频域上)的序列是有限长的,而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT,也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。
为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换,必须将函数xn定义在离散点而非连续域内,且须满足有限性或周期性条件。这种情况下,使用离散傅里叶变换(DFT),将函数xn表示为下面的求和形式: