几何意义
若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a))，B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线，则曲线在A，B间至少存在1点P(ξ,f(ξ))，使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。
运动学意义
对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。
拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。
柯西中值定理Cauchy mean value theorem提出者：法国人柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857）
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。其几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。
柯西中值定理粗略地表明，对于两个端点之间的给定平面弧，至少有一个点，弧的切线通过其端点平行于切线。
设函数f(x),g(x)
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间(a,b)内可导；
（3）对任意x∈(a,b)，g'(x)≠0，那么在(a,b)内至少有一点ξ∈(a,b)，使得
成立。
在柯西中值定理中，若取g(x)=x时，则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同。因此，拉格朗日中值定理为柯西中值定理的一个特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推广。
几何意义
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ε，使下式成立
其中，a、b、ε满足：a≤ε≤b。
