在此简单补充一点儿德尔塔(Δ)和d的内容。
Δ和d,这两个符号都源于“差”(difference)。二者的不同之处在于,Δ是“近似值”,而英文小写字母d是“精确值”。
“精确值”是什么意思呢?例如圆周率π,3.14是其近似值,无限循环的3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279…就是其“精确值”。近似值在某种情况下必定是不正确的,而精确值在任何情况下都是正确的。
所以,我们可以这样理解dx:“将原本用短条宽度Δx计算的数值,看作趋向于0的‘精确值’。”
总结一下,德尔塔(Δ)和英文小写字母d分别在以下情况中使用。
德尔塔(Δ)——当存在宽度(宽度大于0)之时。
英文小写字母d——当宽度趋向于0,计算极限数值时。
另外,虽然微积分中会出现各种各样的公式、符号,不过初学者最开始不太理解这些东西也没有关系,对Δ和d也同样如此。
感觉和逻辑初中入学考试中的积分
我们来思考两方面内容:“有效分割图形的方法”和“积分符号的使用方法”。为了便于讲解,我选取了初中入学考试试题,并尝试使用积分方法解答。
下面,我们将接触到旋转体。旋转体的体积是日本高中教科书中必定会出现的内容,初中入学考试中则常常会出现简单的旋转体题目,例如下面的题目。
如图所示,存在一个半径为2 cm的圆板,距离该圆板圆心4 cm处存在一条竖轴,让圆板以竖轴为轴旋转一周,求出此时所形成的图形的体积。
题目出自日本东海大学附属高轮台高等学校中等部2007年入学考试试题,内容表述有部分修改。
该如何解答这个问题?
圆板绕轴旋转一周,这时会变成什么样的图形呢?
如图43所示,圆板旋转后就变成了这种甜甜圈形。这种甜甜圈的形状在数学中被称作圆环体。
为了计算出圆环体的体积,我们来寻找最朴素的“积分”法。那什么样的方法最有效呢?
如图44所示, 我们可以考虑从水平方向切割圆环体。