1、已知：如图，I、O为锐角△ABC内心、外心，且∠BIO=30° ,求∠BAC
思路分析：
不难猜出∠BAC=60° ,而且由第二篇知当∠BAC=60°时∠BIO=30°成立。下面关键是如何证明唯一性，基本思路是同一法。考虑到I、O为内外心，联想到鸡爪定理，延长CI交外接圆于E，则EB=EI，下面关键在于∠BIO=30°如何利用，需要说明∠BEI=60°,但是无法直接说明。经过尝试发现设B关于IO对称点为B’，则△B'BI为正三角形，B’B=B’I,从而B’与E重合，利用同一法，结论得证。
证明：如上图，做出外接圆O，延长CI交圆O于E，
由鸡爪定理得EB=EI。
设B关于IO对称点为B',
则由OB=OB’知B’在圆O上
且∠B'IO=∠BIO=30°，
故△B'BI为正三角形，故B'B=B'I,
又B'、E都在弧BAC上，且都在BI中垂线上，故B'、E重合,
则∠BAC=∠BEC=60°。
注：1）本题结论很容易猜出来，因为条件∠BIO=30°比较刁钻，很难利用，只能分别利用对称得到等边三角形，结合鸡爪定理说明B'、E重合才能最终得证。不过要彻底说清楚还是有点麻烦，需要作出外接圆综合鸡爪定理利用同一法才行。需要强调的是，用同一法容易出现“伪证”，我也是尝试了好几次都是伪证，经过认真修改才得到最终的正确结果。
2）本题采用暴力计算，采用正余弦定理或者心距公式也是可行的。
3）本题同一法还是比较有启发性的，不难想象，几乎所有的含有60°的三角形的判定都可以尝试利用类似思路解决。
2、如图，在△ABC中，AP平分∠BAC且交BC于P，BQ平分∠ABC且交CA于Q．已知∠BAC=60°，且AB BP=AQ QB．问△ABC的各角的度数的可能值是多少？
思路分析：
最直接了当的思路是三角计算，应该不会太难。
如果希望用纯几何方法，
利用条件等式的自然思路是
在AB、AC延长线上截BF=BP,QB=QG。
