这样一来，“切”似乎与“割”或者“切割”没啥不同？
非也！其实，即使不在讨论切线的语境中，“切”的意思也远非上述这些，它还有“贴近”和“契合”之意，表示刚好靠近，而未越过界限进入对方内部。词语诸如“贴切”、“切中”等皆由此而生。而“切线”一词，正是取此义而得也。
假设此刻你脸上有一只蚊子，而我又是一位武艺高强手握双板斧的大咖，我将会用利斧贴着你的脸皮掠过，斧口掠过的路径就是一条切线，你将毫发无损，而位于切点的蚊子被准确的砍死。
讲了这么久，你现在明白了上面那个切线定义的由来吧！
按照这种切线的定义，考虑如下图这些情况。
显然， ， 和 都发生了切割，所以那些红线都是割线。而 中只是发生了切，与割不同的是，即使因此而切掉了一点，也可忽略，因为数学上的点本来就没大小嘛！因此，曲线没有因为切线的切而断掉。
当然，机智如你，有人提出，按此上面这种理解方式，下面这种也是切线，理由是二者有接触，曲线未被切割。对吗？
不对不对！切线应该是直线，而你这里是射线嘛。
关于切线的这样的一种观点或约定，一直被广泛的接受，直到1828年。
因为不断有人提出：一条切线应该只与曲线上一个点关联，而不必管它是否在别的位置切割曲线。按此说法，像上图 中的红线也应该是切线！
也就是说，对曲线有转向的情况，因为无法避免直线与曲线切割，上面所提到的切线定义无法给出切线。
所以，1828年以后，这种频繁出现在各种词典中的定义被正式宣布废弃了。
如果你还持有这种观念，那很抱歉，你的观念已经out快两百年了！
1828年之后，词典里对切线的给出的定义是：
切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。
实际上，“切线”一词的英文——“tangent”，源自拉丁语“to touch”，表示接触的意思。窃以为，这种接触就是点到为止，不过分依靠和攀附。
据此描述，对于将切线演示出来这件事，具有良好的可操作性：当你拿着一根不太长的直线靠近曲线上的某个确定点时，只要让你手里的直线与曲线刚好接触，你手里的直线就是那条要找的切线。
若你将一根刚性直杆搭在一个圆球上，只要你避免杆的两端与球面直接接触，可以肯定，杆必定与球保持相切。
如下图，假设地面光滑，左边的球与墙壁接触但无压力，因此球没有发生形变，所以墙面和球面刚好接触，二者相切。而右边的球因为受到细线的斜拉力，必定受到墙面的支持力，球面发生形变，它与墙之间并非点到为止，因此墙面不是球面的切面。
虽然这种切线定义是正确的，并且实际操作性强。但这句话有点模糊，“刚好触碰”什么意思？感觉正经的数学定义不会这么说，的确不太好理解，所以这个定义的接受度不是很高。
为了解决广大群众对数学知识的向往与有限的理解力之间的矛盾，人们需要一种更浅显的说法。比如：有几个交点就算切线？于是，“只交于一点”这么一个最直观，但却很容易找到反例的错误说法依然占有较大的市场。
难道在漫长的人类文明史中，切线的定义就只是这个？
非也！太小看历史上的那些聪明的数学家了！其实早在古希腊时代，人们就给出了准确的定义，后来人们又对切线给出多种定义。但遗憾的是，或许是因为数学和几何上的严格定义往往是比较抽象的，这些正确定义并未被大众所熟知。
那么，到底有哪些大牛曾经提出过正确的切线的定义呢？其实，古希腊的数学家欧几里德和阿基米德、比牛顿稍早的法国数学家费马以及牛顿本人等，都对切线做过研究。本文无意去地毯式探求切线定义的发展历史，只列举一下最为重要的两个定义。
第一个定义来自古希腊三大数学家之一的阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，约公元前262～190）。
