从上图中我们可以观察到，对于任意一个奇数，都有唯一对应的偶数，反之亦然。因此，奇数的数量和偶数的数量是两个相等的无穷大，这并不难理解。
3 部分等于整体！？换一个问题：全体正整数的数量和偶数的数量谁更大？
你也许会说：那还用说，肯定是所有正整数的数量更大，因为除了偶数以外，它还包含了奇数。但是，这只是你的直觉，令人震惊的是，如果我们依然严格按照上述方法来比较这两个无穷大，你会发现你的直觉错了，事实上所有正整数和偶数的数量竟然是一样多的！因为所有正整数的集合和只有偶数的集合也能形成一一对应：
这看起来似乎很矛盾，因为偶数显然是正整数的一部分，但是请记住，我们是在讨论无穷大，在“无穷”的世界里，部分可能“等于”整体！
无穷大的诸多特性是奇特且古怪的，我们必须做好直面它们的准备。
4 希尔伯特旅馆对于“无穷大”的讨论，最有趣的例子莫过于德国数学家大卫·希尔伯特在谈到“无限大数”的奇怪而美妙的性质时提出的著名的“希尔伯特旅馆”。
我们设想有一家旅馆，内设有限个房间，而所有的房间都已客满。这时来了一位新住客，想订个房间，“对不起”，旅馆主人说，“所有的房间都住满了。”
再设想另一家旅馆，内设无穷多个房间，所有的房间也都客满了。这时也有一位新住客，想订个房间。
“不成问题！”旅馆主人说。接着他就把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到3号房间，3号房间的旅客移到4号房间等等，这样继续移下去。这样一来，新住客就被安排住进了已被腾空的1号房间。
现在我们继续想象，一家旅馆拥有无穷多个房间，现在来了无穷多个新住客。
“没问题，先生们，请等一会儿。”旅馆主人说。
他把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到4号房间，3号房间的旅客移到6号房间，如此进行下去……
这样的话所有奇数号的房间都空出来了，无穷多位客人轻轻松松就安置了下来。
这个“反直觉”的故事巧妙地揭示了“无穷大数”不同于普通数字的奇妙特性。
5 整数与有理数根据康托尔的“无穷大比较法则”，我们现在还能证明有理数的数量等于整数的数量。
稠密的有理数集与疏散的它的整数子集的元素一样多，乍一看这似乎不可理喻，因为我们不能像罗列奇数、偶数、整数那样把有理数一个个从小到大罗列出来（因为任意给定的两个有理数之间存在无穷多个有理数）。但是别忘了，在无穷的世界中，什么都有可能发生！来试试看吧。
我们知道一个有理数总能写成的形式，接下来我们可以制作一张表格，使某个有理数在这张表格的第列第行，例如把放在下面表格中的第3列第4行：
