现在所有的（正）有理数便都可以放进这张由无穷多个元素组成的表格中，接着我们画一条连续的折线去通过表格中所有的数，如下图所示：
沿着这条折线走，我们便可以遍历所有的（正）有理数，得到一个序列，在这个序列中我们可以把相同的数删去（如等等），使得每一个有理数以最简单的方式恰好出现一次，因而得到一个全新的序列其中每一个正有理数有且只出现一次，这便说明全体有理数是可数的，它可以和正整数形成一一对应。因此我们便可以知道：整数的数量实际上和有理数的数量是一样多的。
6 实数的数量你可能猜想：既然已经比较了那么多种无穷大且发现它们都是可以一一对应的，那是否意味着所有的无穷大都是一样的呢？
事实上情况远非如此，康托尔通过缜密的分析发现了一个惊人的事实：全体实数集是不可数的，换句话说，全体实数与整数或有理数相比有根本的不同，可以说，它是更高级的“无穷大”。关于这个事实康托尔用反证法给出了一个天才般的证明：
假如有人宣称他能完成实数与整数的一一对应，那他应该罗列出这样的对应关系
其中这些表示整数部分，小写的字母表示小数点后的数码，假设这个序列包含了所有实数（当然，我们不可能真的写出无穷多个无限小数的每一位数，那么这张表的作者必然有自己的一套排列法则，就像我们之前排列有理数那样）。
实际上，不难证明，任何排列法则都保证不了这样的事情，因为我们随时可以写出一个无限小数，它绝对不可能属于这张没有尽头的表。
怎么办到？很简单，首先选取一个数码不同于，选取一个数码不同于，同样地，不同于等等……现在考虑无限小数
这个新的数一定不等于上表中的任意一个数，因为它的第个数码和表格中的第个数不同，这便说明实数集是不可罗列的。
由于实数与数轴（直线）上的点一一对应，因此我们便可以回答本文一开始提出的问题：所有整数的数量和一条直线上所有点的数量，显然是后者更大。
7 直线、线段、平面与空间直观上来看，你也许会认为有限长的线段上点的数量一定远小于无限长的直线上点的数量，但是事实并非如此！如果我们在一条线段的和处将其折弯，再从一点投影（如下图），由此可知，即使是有限长的线段，也一一对应了无限长的直线上的无限多个点。
同样地，另一个看似显然的事实往往也是错误的：一个二维的正方形肯定比一维的线段包含有“更多”的点。事实上，它们的数量应该相等。为了证明这一点，我们可以考虑将正方形放入平面直角坐标系中去。
如果点是单位正方形中的点，假设其坐标可以写成十进位小数的形式：
那么我们可以将其唯一对应到数轴上从0到1这个线段上的一点，这便说明正方形上的点和线段上的点是一样多的。
类似地还可以证明：立方体内的点和线段上的点也是一样多的。
