三角形的内切圆半径与三边的关系,三角形内切圆和三角形周长的关系

首页 > 书籍文档 > 作者:YD1662023-06-24 02:00:40

已知:如图,在 Rt △ABC 中 , ∠C = 90° ,a , b , c , 分别为 ∠A , ∠B , ∠C 所对应的边,⊙O 为 Rt △ABC 的内切圆 ,半径为 r

求证:2r = a b - c

三角形的内切圆半径与三边的关系,三角形内切圆和三角形周长的关系(1)

证法一、(切线长的性质):

过 ⊙O 分别作 OF⊥AC , OE⊥BC , OD⊥AB 垂足分别为 F 、E、D ,则有 OF = OE = OD = r

在 Rt △AOF 和 Rt △AOD 中 由勾股定理得 :

AO^2 = AF^2 OF^2 = AD^2 OD^2

所以可得: AF = AD

同理可得:BD = BE

在 Rt △ABC 中

∵ a = CE EB = r BE ,

b = CF FA = r FA ,

c = AD DB 。

∴ c = b - r a - r = b a - 2r

2r = a b - c

证法二、(等积法)

连接 OA , OB , OC

S△ABC = 1/2 ab

S△OAB = 1/2 rc

S△BOC = 1/2 ra

S△COA = 1/2 rb

∵ S△ABC = S△OAB S△BOC S△COA

∴ 1/2 ab = 1/2 rc 1/2 ra 1/2 rb 即 ab = r ( a b c )

∵ 在 Rt △ABC 中 a^2 b^2 = c^2

∴ a^2 b^2 2ab = c^2 2ab 即 ( a b )^2 - c^2 = 2ab

∴ ( a b c)( a b - c ) = 2ab = 2r ( a b c )

∴ 2r = a b - c

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