图4
我们因此可以产生很多问题，既然黎曼几何的直线都是大圆，那么假如一个大圆上有几个点，这些点哪个是首，哪个是尾呢？既然点和直线是“平等”的，那么构成线段的两个端点可以用直线代替吗，黎曼几何中的线段又是如何表述的呢？下面先来看封闭线上的三个不同的点A、B、C，如下图所示，如果C是介于A和B之间，B也可以看作是介于A和C之间，因此用三个点来叙述封闭曲线上点的顺序是没有意义的，这就需要用四个点来建立点的顺序关系。下图中，把四个点分成两组A、B和C、D。若从A按顺时针方向沿圆周运动到B，必过点C；从B按顺时针方向到A必经过Ｄ。这就可以规定，点对Ａ、Ｂ分割点对Ｃ、Ｄ，点对A、C和B、D不互相分割。因此，在黎曼几何中，直线上建立点的顺序的时候，把两个点对的分割性作为原始概念。
图5
线段如何定义呢？如下图所示，可以知道点对C、D分割点对A、B；又在直线l上存在这样的点M，使点对C、M不分割点对A、B；这样的点C、M组成的集合就是线段，它是以A、B为端点的。另一方面，使点对D、N不分割点对A、B的点N组成的集合也是线段，它也是以A、B为端点的。因此，在黎曼几何中以两个已知点为端点的线段有两条。多么令人惊讶！
图6
黎曼几何中还有许许多多让我们大开眼界的性质，等待着读者的深思......
近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用，物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是一种黎曼几何。爱因斯坦在狭义相对论里主要和基本的命题是，空间和时间有不可分割的密切关系。而在广义相对论里放弃了关于时空的均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的区域里以一定的近似性而均匀的，但是整个却不是均匀的，只是在微小的区域内以一定的近似性而均匀的时空的观念。在物理学中的这种解释，恰恰是和“在无穷小范围内”欧氏几何式的黎曼空间的观念相似的。黎曼空间和欧氏空间的一个差别是，欧氏空间是均匀的、无曲率的，图形可以在其中自由地移动而不改变它各点之间的距离，黎曼空间就其本身的性质来说是不均匀的，因此在这个空间里就不能自由地移动图形而使它各点间的距离不改变。
图7 Poincaré圆盘模型
欧式空间是我们所熟知的，可是现实空间却都是非欧空间，黎曼几何本身的性质可以帮助我们理解。可以说，黎曼为我们正确认识客观世界又推动了一大步。有数学家评论说：“黎曼是一个富有想象的天才，他的想法即使没有证明，也鼓舞了整整一个世纪的数学家。”
黎曼可以说是最先理解非欧几何全部意义的数学家，他创立的黎曼几何不仅是对已经出现的非欧几何（罗巴切夫斯基几何）的承认，而且显示了创造其他非欧几何的可能性，但黎曼的理论仍然难以被同时代人理解。在真理面前的坚定和不屈，就是一代数学大家所具有的高贵品质吧。
