作者并非老师,在辅导孩子数学的这几年中,感觉到现在的数学教学都是切片式的,每个年级讲一点,时间跨度很大,孩子在学习过程中死记硬背,对其原理理解并不透彻。而初中的数学基本功对高中阶段的学习非常重要。所以打算自己来写一些教程,有别于教科书和参考书那样,仅仅是对知识点的罗列,会对每个知识点进行详细的说明,并给出证明过程(这点学校在教学过程中比较缺失)。希望能帮助同学们更好地融会贯通。
与点和圆的位置关系一样,直线与圆的位置关系也是三种:
- 相交,与圆有两个交点,叫做割线,⇔ 直线l1与圆的距离d1 < r
- 相切,与圆有一个交点,叫做切线,⇔ 直线l2与圆的距离d2 = r
- 相离,与圆没有交点,⇔ 直线l3与圆的距离d3 > r
对于第1,第2点,可以使用直角三角形的性质来证明,同学们可以自己想一下。
总的来说,直线与圆的位置关系可以通过以下两个方式来判断:
- 直线与圆相交点数
- 直线与圆的距离与圆半径的大小
割线我们会在后续章节(圆的弦和弧)来讨论,这里重点阐述切线的性质。
在这里,同学们是第一次接触到切线,会觉得很简单,其实切线的意义远不止于此,它是通往更上一层数学知识的台阶。到了高中阶段,同学们会发现数学的难度陡然直升,各种艰难、深奥的概念都会呈现在同学们的面前,想要学好高中数学,对初中数学知识掌握程度起到了非常关键的作用。
(在本系列内容中,我们不会去探讨相对深奥的知识点,而是以基本知识点为主,希望同学们能够彻底、扎实地掌握好。)
切线的判定定理:
- 根据基本定义,直线与圆只有一个交点,该直线为该圆的切线。
(这个判定方法很多同学容易忘记,在一些几何题中,我们可以使用解析几何的方式,构造两个方程:直线方程和圆方程,当它们只有一个解时,则直线与圆相切)
- 圆心到直线的距离等于半径,该直线是圆的切线。
证明如下:
∵ 圆心O到直线l的距离(OA)等于半径,OA=r
∴ 所以A在圆O上
∵ 点O到直线l的垂足(垂线与直线的交点)有且只有一个,即为点A
∴ 直线l与圆O只有一个交点
∴ 直线l是圆O的切线
证明完毕
- 经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线
半径的外端就是值半径在圆上的这点,如上图半径OA,A就是半径的外端。以上这句话可以理解成:直线l与圆的半径OA垂直,OA⊥l,且垂足是A点,则,直线l是圆的切线。
证明如下:
使用反正法。(在下一节相信介绍一下反证法)。
假设直线l与圆相交于A点,但又不是圆O的切线。那么直线l与圆O还有一个交点B(参考前面“直线与圆的三种位置关系”),点A和点B都在圆上,则OA=OB,
∵ OA⊥l,在直角三角形ΔOAB中,OA和AB都是直角边,
∴ 斜边OB>OA,这与假设条件推导出的结论OA=OB矛盾。
∴ 直线l是圆O的切线。
证明完毕。
切线性质:圆的切线垂直与经过切点的半径。
这个切线性质与切线判定是互逆的。