可以说大大小小的决策问题包围了我们的一生，小的决策如今天起床后穿什么衣服，晚饭吃什么菜；大的决策如该买哪里的房子，假期该去哪里旅游，选择升学志愿等等。在我们做出决策以前，必须考虑很多方面的指标或者判断准则，最终通过这些准则作出选择。
这些指标是相互制约、相互影响的,而且很多指标是定性的、半定性、半定量的问题，多指标之间的比较往往无法用定量的方式描述。为了利用好计算机，实现人工智能，我们需要将影响决策的指标转化为定量计算问题。层次分析法是解决这类问题的行之有效的方法。
层次分析法简称AHP，在20世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯·塞蒂正式提出。是一种定性和定量相结合，把研究对象作为一个系统，将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，通过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析以及最终的决策系统提供定量的依据。用构造并求解判断矩阵特征向量，归一化后，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。
上面说的过于抽象，下面我们用一个买房子的实例来一步步了解层次分析法。
第一步，建立评价模型。
首先确定目标层、准则层、方案层。如下图，其中准则层可构建多层，将有关的各个指标按照不同属性自上而下的分解成若干层次，由于计算方法都是一样，现在我们以两层次为例。图中方案层表示有B1、B2、B3三个小区可供我们选择，而准则层暂分为两层，第一层有价格、交通、周边设施、装修、户型等指标，第二层表示周边设施下含有教育、医疗、购物、环境等指标。同样的，价格、交通等指标也可以构建第二层指标，在此省略了。目标层则是我们最终决定买的小区。
第二步，构造成对比较矩阵
从最底层开始，确定同层指标重要性的比较分值。采用的方法为将指标两两对比，可以按照下面的原则赋予分值。
分值 | 含义 |
1 | 表示两个指标相比，具有同样重要性。 |
3 | 表示两个指标相比，一个因素比另一个因素稍微重要。 |
5 | 表示两个指标相比，一个因素比另一个因素明显重要。 |
7 | 表示两个指标相比，一个因素比另一个因素强烈重要。 |
9 | 表示两个指标相比，一个因素比另一个因素极端重要。 |
2、4、6、8 | 上述两相邻判断的中值。 |
倒数 | 指标i与j比较的判断分值aij，则指标j与i比较的分值aji=1/aij。 |
由于每个人的认知和感受会有不同，所以每个人赋予的分值可能不完全一样。一般做法可以多找一些人或多个专家共同打分，采用一个相对认知度比较高的方案，则最终的决策会有较好的一般性。由于本文只是学习介绍，成对比较矩阵是我个人打的分值，所以最后的决策可能仅适合我自己。
教育 | 医疗 | 购物 | 环境 | |
教育 | 1 | 1 | 9 | 5 |
医疗 | 1 | 1 | 9 | 5 |
购物 | 1/9 | 1/9 | 1 | 1/3 |
环境 | 1/5 | 1/5 | 3 | 1 |
表一 成对比较矩阵
成对比较矩阵的特点：aij＞0；当i=j时，aij=0；aij=1/aji。
第三步：检验成对比较矩阵的一致性。
从理论上分析，上述矩阵应该是完全一致的。即：
aijajk=aik，1≤i，j，k≤n。
如a12表示教育/医疗的分值为1，a23表示医疗/购物的分值为9，则
a12a23=（教育/医疗）×（医疗/购物）=教育/购物=1×9=9。
但由于构造成对比较矩阵时具有评判者的主观性，要全部满足上述众多等式是不可能的。
如a14表示教育/环境的分值为5，a43表示环境/购物的分值为3，则
a14a43=（教育/环境）×（环境/购物）=教育/购物=5×3=15≠9。
因此我们只能退而求其次，可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性，但必须在限度范围内。所以构造了成对比较矩阵后还应进行一致性检验。
理论推导可得：如果完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的维数。成对比较矩阵的一致性要求，转化为要求成对比较矩阵的绝对值最大的特征值和该矩阵的维数相差不大。
检验成对比较矩阵一致性的步骤如下：
1.计算成对比较矩阵的最大特征值。
在实践中，可采用下述方法计算成对比较矩阵A=[aij]的最大特征值λmax(A)和相应特征向量的近似值。
上式可以近似地看作A的对应于最大特征值的特征向量。
可以近似看作A的最大特征值。实践中可以由λ来判断矩阵A的一致性。
2.计算衡量一个成对比较矩阵A（n＞1阶方阵）不一致程度的指标CI：
