勒让德（没错，就是这么一副怒发冲冠的样子）
高斯和勒让德的结果，只是来自数值实验，没有严格证明，因此只能算作猜想，跟黎曼猜想属于同一层面。
在高斯和勒让德的猜想困惑了人们100多年后，1896年，法国数学家阿达马（Jacques Salomon Hadamard，1865 - 1963）和比利时数学家德·拉·瓦·布桑（Charles Jean de la Vallée Poussin，1866 - 1962）终于证明了它。从此之后，这个命题被人们称为质数定理（prime number theorem）！看这个名字就知道，它的分量有多重了。
但在方法论上，质数定理却只是研究黎曼猜想的一个中间产物。黎曼一上来就证明了，黎曼ζ函数的非平凡零点只能出现在0 ≤ σ ≤ 1的临界带里。对于质数定理而言，讨厌的就是那两个等于号。如果能去掉等于号，也就是说把临界带去掉两条σ = 0和σ = 1的边界，让非平凡零点只能出现在临界带的内部而不是左右边界上，那么质数定理立刻就获得证明了。因为这时你就很容易证明，对质数计数函数π(x)的主要贡献来自对数积分函数Li(x)，次要贡献来自黎曼ζ函数的所有非平凡零点。
所以让我们再次感谢，有如此伟大的头脑引领人类前进！
在1896年，也就是在黎曼1859年的论文发表37年之后，阿达马和德·拉·瓦·布桑终于去掉了这两条边，从而证明了质数定理。我们前面说过，蓝眼睛岛问题跟黎曼猜想相比，就好像新手村送经验的小怪跟终极大boss的对比。现在你能体会到了吧？
质数定理的内容，其实就是小于等于x的质数个数π(x)约等于Li(x)。说得严格一点，就是当x趋于无穷时，π(x)与Li(x)的比值趋于1。前面我们说过，在x很大的时候，Li(x)约等于x/lnx。因此质数定理也可以表述成，π(x)约等于x/lnx。
从上面这个图可以看到，随着x增大，π(x)与这两种近似表达式的比例都趋近于1。不过，π(x)除以x/lnx趋近于1的速度很慢，而π(x)除以Li(x)趋近于1的速度就快得多。也就是说，作为对π(x)的近似，Li(x)比x/lnx要好得多。不过这只是定量的区别，不是定性的区别。
用密度的语言说，在x附近的一个自然数是质数的概率，大约是1/lnx。与此同时，在小于等于x的自然数中任选一个是质数的概率，也大约是1/lnx。
因此，在从1到10的100次方的范围内，大约有多少个质数呢？现在x等于10的100次方，对它取自然对数，得到lnx = 100ln10 ≈ 230.26。从1到10的100次方中的质数个数，大约就是x除以230.26，约等于4.3924乘以10的97次方。以后，你就可以去考别人类似的问题了。你看，这是多么重大的进展！
由此可见，质数定理构成了我们对质数分布的基础描述，而黎曼猜想表征的就是对这个基础描述的修正。下面这个动图，就表现了用0到200个非平凡零点来计算质数计数函数时，效果的逐渐改善。再次重复一下，质数分布的全部信息都包含在黎曼ζ函数非平凡零点的位置当中。得救之道，就在其中！
最后顺便说一句，请注意证明了质数定理的这两位数学家的寿命：德·拉·瓦·布桑活到96岁，阿达马活到98岁！
德·拉·瓦·布桑
