我们得到了一个负旋转！我们每单位时间将要以 π/2 的速度进行旋转。转多长时间呢？其中暗示了1个单位时间；一个单位时间的旋转就是-i：
i^i =0.2078……
(i^i)=-i
而且，看看整个过程，如果我们给它平方一下的话：
((i^i)^i )2 =-1
这就好比是两倍的旋转：2是一个实数，所以它让我们的旋转翻倍到-180度。或者也可说它做了两次-90度的旋转。 最后得瑟一下，它们确实都是些奇怪的指数，但是通过类比我们可以很轻松的把它们搞定。
我们可以既有实数增长也有虚数增长：实数增长改变大小，虚数增长进行旋转：
一个复数增长率（a bi）就是混合了实数增长与虚数增长。实数部分就表示“每秒增长100%”而虚数增长就是“旋转b秒”。记住，虚数并不能把不同的方向进行复合，所以它只是线性相加。 根据这个想法，我们可以把任何点用不同大小的圆（a bi）表示出来！半径就是ea 而角度由eib 决定。这就像把数字放到“创世界”中两次：一次你让它的大小发生变化（一秒），另一次就是让它的角度旋转（b秒）。或者你可以先旋转再增长！ 我们想知道得到6 8i的最终倍数所需要的增长数。这就是在问一个复数的自然对数：我们如何把e变为6 8i？
半径：我们需要一个多大的圆？大小是√(6² 8²)=10.这就意味着需要花ln(10)=2.3秒的时间来达到这个数值
旋转的角度：那个点的角度是多少？我们可以使用反三角函数来计算：arc tan(8/6)=53度＝0.93弧度。
组合结果：ln(6 8i)=2.3 0.93i
11.8 为什么真很有用？最起码的，欧拉公式给了我们一个另一种方法来描述沿着圆的运动。当然我们也可以用正余弦函数来表示——为什么如此特别呢？ 这只是角度不同而已。正余弦函数运动就是在水平坐标和垂直坐标中运动的点而已。
欧拉公式使用极坐标——你的角度与距离多少？再一次的，这是两种描述运动的方法而已：
笛卡尔坐标：向东3个单位，向北4个单位
极坐标：在71.56角度方向上移动5个单位
这取决于是哪种问题，才能那个决定极坐标还是笛卡尔坐标哪个更有用。欧拉公式可以让我随意的进行转换。同样的 eix 转化为正余弦函数，我们可欧拉公式被认为是数学中最优雅的公示之一——而且确实可以理解其中的奥妙。(完)
