柯西中值定理的提出背景,柯西中值定理的实际意义

即

结论得证。

中值点的存在性的证明是柯西中值定理最典型的应用之一。

例3

设a>0，函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则存在ξ∈(a,b)，使得

证明：设F(x)=f(x)/x，G(x)=1/x，显然F(x),G(x)在[a,b]上满足柯西中值定理的条件，于是存在ξ∈(a,b)，使得

即存在ξ∈(a,b)，使得