这条抛物线和直线BC围成了一个弓形（形状像一把弓箭，涂了颜色的部分），这个弓形的面积要怎么求呢？阿基米德的想法是用无数个三角形去逼近这个弓形，就好像我们用很多三角形的瓷砖去铺满这块弓形的地板一样。
他先画了一个蓝色的大三角形ABC（这个三角形并不是随意画的，抛物线在A点处的切线必须跟BC平行。这里我们不细究，只要知道能够画出这样一个三角形就行）。当然，这个三角形ABC的面积肯定比弓形的面积小，小多少呢？显而易见，小了左右两边两个小弓形的面积。
如果我们能把这两个小弓形的面积求出来，加上三角形ABC就可以求出原来大弓形的面积了。但是，如何求这两个小弓形的面积呢？答案是：继续用三角形去逼近！
于是，阿基米德又使用同样的方法，在这两个小弓形里画了两个绿色的三角形。同样的，在这两个小弓形被两个绿色三角形填充之后，我们又多出了四个弓形，然后我们又用四个黄色的三角形去填充剩余的弓形……
很显然，这个过程可以无限重复下去。我们可以用1个蓝色，2个绿色的，4个黄色的，8个红色的等无穷多个三角形来逼近这个弓形。我们也能很直观地感觉到：我们使用的三角形越多，这些三角形的面积之和就越接近大弓形的面积。用三角形的面积之和来逼近这个弓形面积，这我没意见，但关键是你要怎样求这么多三角形（甚至是无穷多个三角形）的面积呢？
这就是阿基米德厉害的地方，他发现：每次新画的三角形的面积都是上一轮三角形面积的1/4。也就是说，2个绿色三角形的面积之和刚好是1个蓝色三角形面积的1/4；4个黄色的三角形的面积之和刚好是2个绿色三角形的1/4，那么就是1个蓝色三角形面积的1/16，也就是（1/4）²……
如果我们把所有三角形的面积都折算成第一个蓝色三角形ABC（用△ABC表示）的面积，那么大弓形的面积S就可以这样表示：
S=△ABC （1/4）△ABC （1/4）²△ABC （1/4）³△ABC……
这东西放在今天就是一个简单的无穷级数求和问题，但阿基米德是古希腊人，那是秦始皇都还没统一中国的年代，什么高等数学更是不存在的，怎么办呢？
阿基米德计算了几项，直觉告诉他这个结果在不断地逼近（4/3）△ABC，也就是说你用的三角形越多，面积S就越接近（4/3）△ABC。于是阿基米德就猜测：如果我把无穷多个三角形的面积都加起来，这个结果应该刚好等于（4/3）△ABC。
当然，光猜测是不行的，数学需要的是严格的证明，然后阿基米德就给出了证明。他证明如果面积S大于（4/3）△ABC会出现矛盾，再证明如果它小于（4/3）△ABC也会出现矛盾，所以这个面积S就只能等于（4/3）△ABC，证毕。
就这样，阿基米德就严格地求出了抛物线和直线围成的弓形的面积等于△ABC的4/3，他使用的这种方法被称为“穷竭法”。
时光荏苒，再见已经是一千八百年后的十七世纪了。
穷竭法可以精确地算出一些曲线围成的面积，但是它有个问题：穷竭法对于不同曲线围成的面积使用不同的图形去逼近。比如上面使用的是三角形，在其它地方就可能使用其它图形，不同图形证明技巧就会不一样，这样就比较麻烦。
到了十七世纪，大家就统一使用矩形（长方形）来做逼近：不管你是什么曲线围成的图形，我都用无数个矩形来逼近你，而且都沿着x轴来做切割。这样操作上就简单多了。
还是以抛物线为例，这次我们考虑最简单的抛物线y=x²，它的图像大概就是下面这样（每取一个x的值，y的值都是它的平方），我们来具体算一算这条抛物线在0到1之间与x轴围成的面积是多少。
我们用矩形来逼近原图形，容易想象，矩形的数量越多，这些矩形的面积之和就越接近曲线围成的面积。这个思路跟穷竭法类似，但是更容易理解。
我们假设0到1之间被平均分成了n份，那么每一份的宽度就是1/n。而矩形的高度就是函数的纵坐标的值，纵坐标可以通过y=x²很容易算出来。于是，我们就知道，第1个矩形的高度为（1/n）²，第2个为（2/n）²，第3个为（3/n）²……
有了宽和高，把它们乘起来就是矩形的面积。于是，所有矩形的面积之和S就可以写成这样：
这只是一段普通的化简，相信大家只要知道平方和公式是下面这样就秒懂了：
